Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)
\(=\left(n^6-n^4\right)+\left(2n^3+2n^2\right)=n^4\left(n^2-1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)
\(=n^4\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)
\(=\left(n^5-n^4\right)\left(n+1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)
\(=\left(n^5-n^4+2n^2\right)\left(n+1\right)\)
\(=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\)
\(=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]\)
\(=n^2\left(n+1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-n+1-n+1\right)\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)
Với mọi \(n\inℕ\)và \(n\ge1\), ta có:
\(n^2\left(n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)\right]^2\)luôn là số chính phương.
Mà \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\)luôn không là số chính phương ( vì n>1; \(n\inℕ\))
Do đó \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+1\right)\)không phải là số chính phương với mọi \(n>1,n\inℕ\)
\(\Rightarrow n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không phải là số chính phương với mọi \(n>1,n\inℕ\)
Vậy nếu \(n\inℕ,n>1\)thì số có dạng \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)không phải là số chính phương
TÍNH CHẤT : Nếu tích của các số là một số chính phương thì mỗi số đều là một số chính phương.
TC: n2 < n2 + n +1 <n2 +2n+1
Suy ra n2< n2 + n +1 <(n+1)2
Mà giữa hai số chính phương liên tiếp ko có số chính phương nào nên n2 + n +1 ko thê là số chính phương (đpcm)
Ta có: n2+n+1>n2
n2+n+1<n2+n+1+n=n2+2n+1=(n+1)2
=>n2<n2+n+1<(n+1)2
=>n2+n+1 không thể là số chính phương
Vì n2+n+1 nằm giữa bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp(n và n+1)
=>ĐPCM
a) \(P=2+2^2+2^3+...+2^{2011}+2^{2012}\)
\(P=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2011}+2^{2012}\right)\)
\(P=\left(2+2^2\right)+2^2\left(2+2^2\right)+...+2^{2010}\left(2+2^2\right)\)
\(P=6+2^2\cdot6+...+2^{2010}\cdot6\)
\(P=6\cdot\left(1+2^2+...+2^{2010}\right)\) chia hết cho 6
=> P chia hết cho 6
b) Ta có: \(A=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\)
\(A=\left(n^4+2n^3+n^2\right)+\left(n^2+2n+1\right)\)
\(A=n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2\)
\(A=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\)
Để A là số chính phương thì \(n^2+1\) cũng phải là số chính phương
Đặt \(n^2+1=x^2\left(x\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow x^2-n^2=1\Leftrightarrow\left(x-n\right)\left(x+n\right)=1=1\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\)
\(\Rightarrow x-n=x+n\Rightarrow n=0\)
Mà n > 0 => Không tồn tại n thỏa mãn
=> A không là số chính phương
=> đpcm
Giả sử ngược lại \(2^n-1\) là 1 số chính phương lẻ
Khi đó \(2^n-1=\left(2k+1\right)^2\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow2^n-1=4k^2+4k+1\)
\(\Leftrightarrow2^n=4k^2+4k+2\)
Nhận thấy VP chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
Mà n>1 nên 2n chia hết cho 4
=> vô lý => điều g/s sai
=> 2n - 1 không là 1 SCP
Bài 2 Chứng minh : A.B + 1 là số chính phương với
a/ A =11...1 và B =100...05 (có n chữ số 1 và n-1 chữ số 0)
Lời giải:
Thấy A = 1111 … 11 và B = 100…005
Nên: A + (8A + 6) = 1111…11+ 888…94 = 100…05 = B. Tức là 9A + 6 = B
Do đó: A.B + 1 = A.(9A + 6) + 1 = 9A2 + 6.A + 1 = (3A + 1)2
b/ A = 11...12 và B =11...14 (có n chữ số 1)
Lời giải: Thấy B = A + 2 Nên AB + 1 = A.(A + 2) +1 = (A+1)2
Bài 3 Cho A là số gồm 2n chữ số 1, B là số gồm n+1 chữ số 1, C là số gồm n chữ số 6.
Chứng minh rằng: (A + B + C + 8) là số chính phương
Lời giải: - Với n =1 Thì A = 11, B = 11, C = 6 Nên A + B + C + 8 = 36 = 62
- Với n = 2 Thì A = 1111, B = 111, C = 66 Nên A + B + C + 8 = 1296 = 362
- Với n = 3 Thì A = 111111, B = 1111, C = 666 Nên A + B + C + 8 = 112896 = 3362
- Trường hợp tổng quát, n>3
Đặt S = A + B + C + 8 = 111…12888…88 + 8 = 111… 12888…896.
Cộng dọc, viết ngay ngắn các bạn dễ thấy:
S Là số tự nhiên có 2n chữ số, gồm n-1 chữ số 1, một chữ số 2, có n-2 chữ số 8, một chữ số 9 và một chữ số 6
(Với n là số tự nhiên, n>2)
Ta có S = 111…12888…896 = 111…12888…87 + 9 = 333…33x333…39 + 9 =
= 333…33x(333…33 + 6) + 9 =
= 333…332 + 6x333…33 + 9 = (333…33 + 3)2 = 333…362
(Số 333…36 có n chữ số, gồm n-1 chữ số 3 và một chữ số 6 )
Bài 4 Chứng minh số \(\frac{1}{3}.\left(111...11-333...3300...00\right)\) là lập phương của 1 số tự nhiên
( n chữ số 1, n chữ số 3, n chữ số 0)
Lời giải : Số đã cho là một số âm nên nó không thể bằng lập phương của một số tự nhiên. (Bạn xem lại đề ra đi nhé)
Bài 5: Cho 1 dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách chèn số 15 vào giữa số hạng liền trước:
Vd: 16 => 1156 => 111556 => 11115556 =>...
Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
Bài 2 Chứng minh : A.B + 1 là số chính phương với
a/ A =11...1 và B =100...05 (có n chữ số 1 và n-1 chữ số 0)
Lời giải:
Thấy A = 1111 … 11 và B = 100…005
Nên: A + (8A + 6) = 1111…11+ 888…94 = 100…05 = B. Tức là 9A + 6 = B
Do đó: A.B + 1 = A.(9A + 6) + 1 = 9A2 + 6.A + 1 = (3A + 1)2
b/ A = 11...12 và B =11...14 (có n chữ số 1)
Lời giải: Thấy B = A + 2 Nên AB + 1 = A.(A + 2) +1 = (A+1)2
Bài 3 Cho A là số gồm 2n chữ số 1, B là số gồm n+1 chữ số 1, C là số gồm n chữ số 6.
Chứng minh rằng: (A + B + C + 8) là số chính phương
Lời giải: - Với n =1 Thì A = 11, B = 11, C = 6 Nên A + B + C + 8 = 36 = 62
- Với n = 2 Thì A = 1111, B = 111, C = 66 Nên A + B + C + 8 = 1296 = 362
- Với n = 3 Thì A = 111111, B = 1111, C = 666 Nên A + B + C + 8 = 112896 = 3362
- Trường hợp tổng quát, n>3
Đặt S = A + B + C + 8 = 111…12888…88 + 8 = 111… 12888…896.
Cộng dọc, viết ngay ngắn các bạn dễ thấy:
S Là số tự nhiên có 2n chữ số, gồm n-1 chữ số 1, một chữ số 2, n-2 chữ số 8, một chữ số 9 và một chữ số 6
(Với n là số tự nhiên, n>2)
Ta có S = 111…12888…896 = 111…12888…87 + 9 = 333…33x333…39 + 9 =
= 333…33x(333…33 + 6) + 9 =
= 333…332 + 6x333…33 + 9 = (333…33 + 3)2 = 333…362
(Số 333…36 có n chữ số, gồm n-1 chữ số 3 và một chữ số 6 )
Bài 4 Chứng minh số .(11...1-33...300...0) là lập phương của 1 số tự nhiên
( n chữ số 1, n chữ số 3, n chữ số 0)
Bài 5: Cho 1 dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách chèn số 15 vào giữa số hạng liền trước: Vd: 16 => 1156 => 111556 => 11115556 =>...
Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương
Lời giải: Ta có hai số hạng đầu của dãy số đó là :
16 = 15 + 1 = 3 . 5 + 1 = 3.(3 + 2) + 1 = 32 + 2.3 + 1 = (3 + 1)2
1156 = 1155 + 1 = 33x35 + 1 = 33x(33 + 2) + 1 = 332 + 2.33 + 1 = (33 + 1)2
Số hạng tổng quát (Có n chữ số 1, có n-1 chữ số 5 và 1 chữ số 6) 111…55…56 Ta biến đổi :
111…1155…56 = 111…1155…55 + 1 =
= 333…33x333…35 + 1 = 333…33x(333..33 + 2) + 1 =
= 333…332 + 2x333…33 + 1 = (333…33 + 1)2 = 333…342
(333…34 Có n-1 chữ số 3 và một chữ số 4)
Chú ý rằng: Tích (Mỗi thừa số có n chữ số. Thừa số thứ nhất có n – 1 chữ số 3 và một chữ số 5 ở hàng đơn vị, thừa số thứ hai có n chữ số 3): 333…35x 333…3 viết dạng nhân dọc :
333…335 (Có n-1 chữ số 3 và một chữ số 5)
x 333... 333
________________
100...005 Có n+1 chữ số, gồm một chữ số 1, một chữ số 5 và n-1 chữ số 0)
100… 005 ( Có n+1 chữ số, gồm một chữ số 1, một chữ số 5 và n-1 chữ số 0)
……………
100…005 (Có n+1 chữ số, gồm một chữ số 1, một chữ số 5 và n-1 chữ số 0)
_______________________
11…1155…555 (Có n chữ số 1 và n chữ số 5)
Chúc bạn Nguyễn Như Quỳ học tập ngày càng giỏi . Bạn tìm đâu ra những bài toán hay đến vậy ?
Ta có:
1!+2!+3!+4!=37
Suy ra 1!+2!+3!+...+n! không là số chính phương. Vì A có chữ số tận cùng bằng 7, 1!+2!+3!+4! có chữ số tận cùng bằng 7 và từ 5!+6!+...+n! có chũ số tận cùng bằng 0.