Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x^2+4x+3=t\left(t\ge-1\right)\)
\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x+6\right)\ge m,\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+3\right)^2+3\left(x^2+4x+3\right)\ge m,\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow m\le f\left(t\right)=t^2+3t,\forall x\in R\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:
\(m\le minf\left(t\right)=-2\)
Xét \(\dfrac{2x-1}{x}-\dfrac{x-2}{x-1}< 0\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+1}{x\left(x-1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)< 0\Leftrightarrow0< x< 1\)
Xét \(3x^2-4x+m< 0\) trên \(\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow m< -3x^2+4x\) trên \(\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow m< \max\limits_{\left(0;1\right)}\left(-3x^2+4x\right)\)
Xét \(f\left(x\right)=-3x^2+4x\) trên \(\left(0;1\right)\)
\(a=-3< 0\); \(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{3}\in\left(0;1\right)\) \(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow m< \dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow mx-m^2\ge x-1\Leftrightarrow\left(m-1\right)x\ge m^2-1\)
- Với \(m=1\) tập nghiệm của BPT là R (ktm)
- Với \(m>1\) \(\Rightarrow m-1>0\Rightarrow x\ge\dfrac{m^2-1}{m-1}=m+1\) hay \([m+1;+\infty)\) (ktm)
- Với \(m< 1\Rightarrow m-1< 0\Rightarrow x\le m+1\) hay \((-\infty;m+1]\) có vẻ giống?
Nhẩm trắc nghiệm thì \(ax>b\) có tập nghiệm chứa dương vô cùng khi a>0, có tập nghiệm chứa âm vô cùng khi a<0
\(ax< b\) thì ngược lại
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3\left(m+6\right)x^2-3\left(m+3\right)x+2m-3>3\\3\left(m+6\right)x^2-3\left(m+3\right)x+2m-3< -3\end{matrix}\right.\) \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3\left(m+6\right)x^2-3\left(m+3\right)x+2m-6>0\left(1\right)\\3\left(m+6\right)x^2-3\left(m+3\right)x+2m< 0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(m=-6\) ko thỏa mãn
TH1: xét (1)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+6>0\\9\left(m+3\right)^2-12\left(m+6\right)\left(2m-6\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-6\\5m^2+6m-171>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\frac{-3+12\sqrt{6}}{5}\)
TH2: xét (2)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -6\\9\left(m+3\right)^2-24m\left(m+6\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -6\\5m^2+30m-27>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< \frac{-15-6\sqrt{10}}{5}\)
Lấy hợp 2 nghiệm (xấu quá)
2: \(-4x^2+5x-2\)
\(=-4\left(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=-4\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{8}+\dfrac{25}{64}+\dfrac{7}{64}\right)\)
\(=-4\left(x-\dfrac{5}{8}\right)^2-\dfrac{7}{16}< =-\dfrac{7}{16}< 0\forall x\)
Sửa đề:\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}\)
Để f(x)>0 với mọi x thì \(\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}>0\forall x\)
=>\(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2< 0\forall x\)(1)
\(\text{Δ}=\left[\left(4m+4\right)\right]^2-4\cdot\left(-1\right)\left(1-4m^2\right)\)
\(=16m^2+32m+16+4\left(1-4m^2\right)\)
\(=32m+20\)
Để BĐT(1) luôn đúng với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}32m+20< 0\\-1< 0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)
=>32m+20<0
=>32m<-20
=>\(m< -\dfrac{5}{8}\)
Lời giải:
Đặt $x^2+4x+3=m$.
$m+1=x^2+4x+4=(x+2)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow m\geq -1$
Ta có:
$(x^2+4x+3)(x^2+4x+6)=m(m+3)=(m+1)^2+m-1\geq m-1\geq -1-1=-2$
Vậy $(x^2+4x+3)(x^2+4x+6)\geq -2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Để BPT đã cho đúng với mọi $x$ thì $a=-2$