Question

[Kim TAE TAE]

TOÁN 8 cho điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho tiaAO,OB,OC cắt BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F .

CHỨNG MINH: a) \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{ÒF}\ge6\)

                          b) \(\frac{OA}{OD}.\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}\ge8\)

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

A B C O D E F

a

Ta có:

\(OA=AD-OD=\frac{2S_{ABC}}{BC}-\frac{2S_{BOC}}{BC}=\frac{2\left(S_{ABC}-S_{BOC}\right)}{BC}\)

\(OD=2S_{BOC}\Rightarrow\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\Rightarrow\frac{OA}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)

Tương tự 

\(\frac{OB}{OE}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT s-vác ta có:

\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3\ge S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}=\frac{9S_{ABC}}{S_{ABC}}=9\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu "=" xảy ra tại \(S_{OAB}=S_{OBC}=S_{COA}\Leftrightarrow O\) là trọng tâm của tam giác.

b

Em nghĩ đề là \(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge8\)

Nếu vậy thì e lm như sau:

Ta có:\(\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{BOC}}\)

Tương tự ta có:\(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OF}=\frac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{BOA}}\)

Đặt \(\left(S_{COA};S_{BOA};S_{BOC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)

Ta có:

\(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}\)

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(S_1+S_2\ge2\sqrt{S_1\cdot S_2};S_2+S_3\ge2\sqrt{S_2\cdot S_3};S_3+S_1\ge2\sqrt{S_3\cdot S_1}\)

\(\Rightarrow\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge\frac{8\cdot S_1\cdot S_2\cdot S_3}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}=8\)

Dấu "=" xảy ra tại \(S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC.

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Câu a. Dòng đầu tiên là nhầm rồi Huy.  AD đâu phải đường cao đâu thế tại sao: \(AD=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}\)???

Bài này có thể giải:

a. 

Có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{AD-OD}{OD}=\frac{AD}{OD}-1=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta OBC}}-1\)

Tương tự: \(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BAC}}{S_{OAC}}-1\); \(\frac{OC}{OF}=\frac{S_{CAB}}{S_{OAB}}-1\)

=> \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAB}}-3\)

\(=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{OBC}}+\frac{1}{S_{OAC}}+\frac{1}{S_{OAB}}\right)-3\ge S_{ABC}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{S_{OBC}+S_{OAC}+S_{OAB}}-3=\frac{S_{ABC}.9}{S_{ABC}}-3=6\)

"="  xảy ra <=> O là trọng tâm

b. Làm đúng rồi.