Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(I=\int sinxdx-\frac{1}{2}\int e^{2x}d\left(2x\right)=-cosx-\frac{1}{2}e^{2x}+C\)
b/ Ko rõ đề
c/ Không rõ đề
d/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinx.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C\)
Câu a: Tích phân không thể tính được
Câu b:
Đặt \(\sqrt{x}=t\). Khi đó:
\(\int ^{\pi ^2}_{0}x\sin \sqrt{x}dx=\int ^{\pi}_{0}t^2\sin td(t^2)\) \(=2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt\)
Tính \(\int t^3\sin tdt\) bằng nguyên hàm từng phần:
\(\Rightarrow \int t^3\sin tdt=\int t^3d(-\cos t)=-t^3\cos t+\int \cos t d(t^3)\)
\(=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)
\(=-t^3\cos t+3\int t^2d(\sin t)=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-\int \sin td(t^2))\)
\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int t\sin tdt)\)
\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int td(-cos t))\)
\(=-t^3\cos t+3[t^2\sin t-2(-t\cos t+\int \cos tdt)]\)
\(=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)
\(\Rightarrow 2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt=2(-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c)\left|\begin{matrix} \pi\\ 0\end{matrix}\right.\)
\(=2\pi ^3-12\pi \)
Lời giải:
Đặt \(2x+1=t\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}\)
Khi đó:
\(\int ^{\frac{1}{9}}_{0}\frac{x}{\sin ^2(2x+1)}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{11}{9}}_{0}\frac{t-1}{\sin ^2t}d(\frac{t-1}{2})=\frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt\)
Xét \(\int \frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\int \frac{t}{\sin ^2t}dt-\int \frac{dt}{\sin ^2t}=\int td(-\cot t)-(-\cot t)+c\)
\(=(-t\cot t+\int \cot tdt)+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\int \frac{\cos t}{\sin t}dt+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\int \frac{d(\sin t)}{\sin t}+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\frac{1}{4}(-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c)\left|\begin{matrix} \frac{11}{9}\\ 1\end{matrix}\right.\)
\(\approx 0,007\)
\(3f\left(x\right)+x.f'\left(x\right)=x^{2018}\Leftrightarrow3x^2.f\left(x\right)+x^3.f'\left(x\right)=x^{2020}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3.f\left(x\right)\right)'=x^{2020}\)
\(\Leftrightarrow x^3f\left(x\right)=\frac{1}{2021}x^{2021}+C\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^{2018}}{2021}+\frac{C}{x^3}\)
Do \(f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(x\right)\) xác định tại \(x=0\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^{2018}}{2021}\)
Lấy tích phân 2 vế:
\(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\frac{x^{2018}}{2021}dx=\frac{1}{2019.2021}\)
đặt t = lnx
tôi ko biết \(\varepsilon\) trong bài là gì, tuy nhiên nếu nó là số bất kì thì xét 2 TH sau để biết đk t
TH1: \(\varepsilon\in\left(0;1\right)\)
TH2: \(\varepsilon>1\)
\(I=\int\limits^0_{\frac{-1}{2}}\frac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{3+2x-x^2}}=\int\limits^0_{\frac{-1}{2}}\frac{dx}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\right)}\)
\(=\int\limits^0_{\frac{-1}{2}}\frac{dx}{\left(x+1\right)^2\sqrt{\frac{3-x}{x+1}}}\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{3-x}{x+1}}\Rightarrow\frac{dx}{\left(x+1\right)^2}=-\frac{1}{2}\)
Đổi cận : \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=\sqrt{7};x=0\Rightarrow t=\sqrt{3}\)
\(I=-\frac{1}{2}\int\limits^{\sqrt{3}}_{\sqrt{7}}dt=\frac{1}{2}\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)\)
\(\int\left(\frac{1}{x}-2x\right)dx=ln\left|x\right|-x^2+C\)
\(\int cos2xdx=\frac{1}{2}sin2x+C\)
\(\int\frac{1}{x^2-4x+4}dx=\int\frac{d\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}=-\frac{1}{\left(x-2\right)}+C=\frac{1}{2-x}+C\)
\(\int\limits^4_1\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}|^4_1=\sqrt{4}-\sqrt{1}=1\)
\(I=\int\limits^1_0\left(2x+1\right)e^xdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=2x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(2x+1\right)e^x|^1_0-\int\limits^1_02e^xdx=3e-1-2e^x|^1_0=e+3\)
a/ Tích phân này làm sao giải được nhỉ?
b/ Đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^2\Rightarrow dx=2t.dt\)
\(I=\int\frac{2t^2.dt}{4-t^4}=\int\left(\frac{1}{2-t^2}-\frac{1}{2+t^2}\right)dt=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\frac{\sqrt{2}}{t}+C\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+C\)
c/ \(I=\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}.xdx\)
Đặt \(\sqrt{1+x^2}=t\Rightarrow x^2=t^2-1\Rightarrow xdx=tdt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{t^2dt}{t^2-1}=\int\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt=t+ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\sqrt{1+x^2}+ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}\right|+C\)
d/ Con nguyên hàm này cũng không tính được, chắc bạn ghi nhầm đề
Câu này dài quá! Mình k ghi ra dc! Đầu tiên đổi biến số sau đó tích phân từng phần 3 lần :3 :3
Đặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt\)
\(I=\int\limits^{-2}_2\frac{t^{2018}}{e^{-t}+1}\left(-dt\right)=\int\limits^2_{-2}\frac{e^t.t^{2018}}{e^t+1}dt=\int\limits^2_{-2}\frac{e^x.x^{2018}}{e^x+1}dx\)
\(\Rightarrow I+I=\int\limits^2_{-2}\frac{x^{2018}+e^x.x^{2018}}{e^x+1}dx=\int\limits^2_{-2}x^{2018}dx=\frac{2.2^{2019}}{2019}\)
\(\Rightarrow I=\frac{2^{2019}}{2019}\)
Cảm ơn bạn rất nhiều !