Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Ta có VP là số lẻ nên VT cũng phải là số lẻ. Hay trong 2 số x, y phải có 1 số lẻ.
Giả sử số lẻ đó là x thì ta có
\(\hept{\begin{cases}x=2m+1\\y=2n\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2+\left(2n\right)^2=1999\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2+m+n\right)=1998\)
Ta thấy VT chia hết chi 4 còn VP không chia hết cho 4 nên phương trình vô nghiệm
b/ \(9x^2+2=y^2+y\)
\(\Leftrightarrow36x^2+8=4y^2+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2-36x^2=9\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1-6x\right)\left(2y+1+6x\right)=9\)
1) Giả sử: \(9x+5=n\left(n+1\right)\left(n\in Z\right)\)
\(36x+20-4n^2+4n\)
\(\Rightarrow36x+21=4n^2+4n+1\)
\(\Rightarrow3\left(12x+7\right)=\left(2n+1\right)^2\)
\(\left(2n+1\right)^2\)là số chính phương nên sẽ chia hết cho 3 => (2n+1)2 chia hết cho 9
Lại có: 12x+7 ko chia hết cho 3 => 3(12x+7) ko chia hết cho 9
Chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x+5=n(n+1)
Ta có: \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^2+2015|x-z|=2017\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\end{cases}\left(a,b\in Z\right)}\) thì ta có
\(a^3+b^2+2015|a+b|=2017\)
+ Nếu a lẻ b lẻ thì a + b là số chẵn \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
+ Nếu a lẻ b chẵn thì a + b là số lẻ \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
+ Nếu a chẵn b lẻ thì a + b là số lẻ \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
+ Nếu a chẵn b chẵn thì a + b là số chẵn \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.
Vậy không tồn tại a, b nguyên thỏa đề bài hay là không tồn tại x, y, z nguyên dương thỏa đề bài.
\(Giải.\)
\(x^2-2y^2=1\Leftrightarrow x^2-1=2y^2\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)=2y^2\left(chẵn\right)\)
Dễ thấy: x+1-(x-1)=2 nên 2 số trên cùng chẵn hoặc cùng lẻ=> 2 số trên cùng chẵn
=> 2y2 chia hết cho 4=>y2 chia hết cho 2
=> y chẵn =>y=2=>x2-8=1=>x=3 (thỏa mãn)
Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp: (x,y)=(3;2) thỏa mãn
Dễ thấy: x+1-(x-1)=2 nên 2 số trên cùng chẵn hoặc cùng lẻ=> 2 số trên cùng chẵn
=> 2y2 chia hết cho 4=>y2 chia hết cho 2
=> y chẵn =>y=2=>x2-8=1=>x=3 (thỏa mãn)
Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp: (x,y)=(3;2) thỏa mãn
Bài 1:
Vì \(x^2+y^2=1999\) là một số lẻ nên $x,y$ khác tính chẵn lẻ. Không mất tổng quát giả sử \(x\) chẵn $y$ lẻ
Đặt \(x=2m, y=2n+1\)
\(\Rightarrow 1999=x^2+y^2=4m^2+(2n+1)^2\)
\(\Leftrightarrow 1999=4m^2+4n^2+4n+1\)
\(\Leftrightarrow 4(m^2+n^2+n)=1998\)
Ta thấy vế trái là một biểu thức chia hết cho $4$, vế phải không chia hết cho $4$ nên pt không tồn tại $m,n$ thỏa mãn.
Tức là phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2:
Ta có: \(9x^2+2=y^2+y\)
\(\Leftrightarrow 9x^2=y^2+y-2\)
\(\Leftrightarrow (3x)^2=(y-1)(y+2)\)
Ta có: \((y-1)(y+2)\geq 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} y\geq 1\\ y\leq -2\end{matrix}\right.\)
TH1 \(y\geq 1\), đảm bảo \(y-1,y+2\in\mathbb{N}\)
Gọi \(d=\text{ƯCLN}(y-1,y+2)\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y-1\vdots d\\ y+2\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (y+2)-(y-1)\vdots d\)
\(\Leftrightarrow 3\vdots d\) \(\Leftrightarrow d\in\left\{1;3\right\}\)
Nếu \(d=1\), tức là không số nào trong \(y-1,y+2\) chia hết cho $3$. Mà \((3x)^2\vdots 3\) nên vô lý (loại )
Nếu \(d=3\). Đặt \(y-1=3k\Rightarrow y+2=3k+3\)
PT trở thành: \((3x)^2=3k(3k+1)=9k(k+1)\)
\(\Leftrightarrow x^2=k(k+1)\)
Vì $k,k+1$ nguyên tố cùng nhau mà tích của chúng lại là một số chính phương nên bản thân chúng cũng là số chính phương.
Đặt \(k=m^2; k+1=n^2\)( \(m,n\in\mathbb{N}\) )
\(\Rightarrow n^2-m^2=1\Leftrightarrow (n-m)(n+m)=1\). Đây là dạng pt tích cơ bản ta thu được \(n=1; m=0\Rightarrow k=0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=0\end{matrix}\right.\)
TH2: \(y\leq -2\) thì \(y-1, y+2\leq 0\).
Đặt \(y+2=-(a-1)\Rightarrow y-1=-(a+2)\)
Khi đó: \((3x)^2=(a-1)(a+2)\) với \(a-1,a+2\geq 0\) (là các số tự nhiên)
TH này lặp lại TH1 và ta thu được \(a=1\Leftrightarrow y=-2; x=0\)
Vậy \((x,y)=(0; 1); (0; -2)\)