HT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LA
1
AT
30 tháng 6 2018
Áp dụng bđt Cauchy có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\);
\(y^4+z^4\ge2\sqrt{y^4z^4}=2y^2z^2\);
\(z^4+x^4\ge2\sqrt{z^4x^4}=2z^2x^2\);
Cộng 2 vế của 3 bđt trên ta có:
\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Lại sử dụng Cauchy có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^2\cdot y^2z^2}=2xy^2z\left(1\right)\\y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{y^2z^2\cdot z^2x^2}=2xyz^2\left(2\right)\\z^2x^2+x^2y^2\ge2\sqrt{z^2x^2\cdot x^2y^2}=2x^2yz\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) sau đó rút gọn ta đc:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz=xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z = 1
22 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
x4 + yz \(\ge\)\(2\sqrt{x^4yz}=2x^2\sqrt{yz}\); \(y^4+xz\ge2y^2\sqrt{xz}\); \(z^4+xy\ge2z^2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
CM : x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
\(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
KN
31 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(\Sigma\frac{x^2}{x^4+yz}\le\Sigma\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\Sigma\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)
\(\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 1 2020
\(VT=\sum\frac{x^2}{x^4+yz}\le\sum\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
A
1
24 tháng 9 2018
\(2x^{2014}+1005\ge1007\sqrt[1007]{x^{4028}}=1007x^4\)
\(\Leftrightarrow x^{2014}\ge\frac{1007x^4-1005}{2}\)
\(\Rightarrow3\ge\frac{1007\left(x^4+y^4+z^4\right)-3.1005}{2}\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\le3\)
LT
1
21 tháng 9 2015
Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) với \(a=x,b=-y,c=-z\) ta được \(x^3-y^3-z^3-3xyz=\left(x-y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx\right)\) Thành thử \(x=y+z\) hoặc \(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx=0.\) Vì \(x,y,z\) là các số nguyên dương nên \(x^2+y^2+z^2+xy-yz+zx>x^2+z^2-xz\ge xz>0.\) Suy ra \(x=y+z\). Vì \(x^2=2\left(y+z\right)\to x^2=2x\to x=2\to y+z=2\to y=z=1.\) (Vì các số \(x,y,z\) nguyên dương).
Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(2,1,1\right).\)
PH
1
DL
1
TL
0
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Tiếp tục use AM-GM:
\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)
Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow VT=x^4+y^4+z^4\ge3xyz=VP\left(vi`...x+y+z=3\right)\)
Khi \(x=y=z=1\)