Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)
Thay x vào ta có...
2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)
\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)
Ta có:
\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)
\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)
Thay x vào, ta có....
a) Áp dụng đồng nhất thức \(\cos^2x+\sin^2x=1\)
ta có : \(\int\frac{1}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int\frac{dx}{\cos^2x}\)
\(=-\cot x+\tan x+C\)
b) Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm ta thu được :
\(\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\int\left(\tan^2x+2+\cot^2x\right)dx\)
\(=\int\left[\left(\tan^2x+1\right)+\left(\cot^2x+1\right)\right]dx\)
\(=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sin^2x}\)
\(=\tan x-\cot x+C\)
a)\(\int \sin ^2\left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1-\cos x }{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+c\)
b)\(\int \cos ^2 \left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+c\)
c) \(\int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x+5}=\int \frac{d(x^2+x+5)}{x^2+x+5}=ln(x^2+x+5)+c\)
d)\(\int (2\tan x+ \cot x)^2dx=4\int \tan ^2 x+\int \cot^2 x+4\int dx=4\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}dx+\int \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx+4\int dx \)\( =4\int d(\tan x)-\int d(\cot x)-\int dx=4\tan x-\cot x-x+c\)
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
8.
\(I=\int sinx.cos2xdx=\int\left(2cos^2x-1\right)sinxdx\)
\(=\int\left(1-2cos^2x\right)d\left(cosx\right)=cosx-\frac{2}{3}cos^3x+C\)
9.
\(I=\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{2\left(-sinx\right).cosx}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{d\left(cos^2x\right)}{1+cos^2x}\)
\(=-ln\left|1+cos^2x\right|+C\)
6.
\(I=\int cos^3xdx=\int\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
\(=\int\left(1-sin^2x\right)d\left(sinx\right)=sinx-\frac{1}{3}sin^3x+C\)
7.
\(I=\int sin^2x.cos^3xdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)
\(=\int\left(sin^2x-sin^4x\right)d\left(sinx\right)=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)
a) \(\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)\)
\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\)
Vậy:
\(\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}\)
\(=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C\)
a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt u= ln(1+x)
dv= xdx
=> ,
Ta có: ∫xln(1+x)dx =
=
b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:
Đặt u= (x2+2x -1) và dv=exdx
Suy ra du = (2x+2)dx, v = ex
. Khi đó:
∫(x2+2x - 1)exdx = (x2+2x - 1)exdx - ∫(2x+2)exdx
Đặt : u=2x+2; dv=exdx
=> du = 2dx ;v=ex
Khi đó:∫(2x+2)exdx = (2x+2)ex - 2∫exdx = ex(2x+2) – 2ex+C
Vậy
∫(x2+2x+1)exdx = ex(x2-1) + C
Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x2-1)exdx. Đặt u = x2-1 và dv=exdx.
Đáp số : ex(x2-1) + C
c) Đáp số:
HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx
d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.
HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx
Để tìm một số nguyên hàm ta có thể lưu ý và áp dụng nhận xetsau : nguyên hàm của một phân thức mà tử số của nó là vi phân của mẫu số là bằng logarit của đại lượng tuyệt đối của mẫu số :
\(\int\frac{u'dx}{u}=\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|+C\)
a) \(\int\frac{\cos2x}{\sin x\cos x}dx=2\int\frac{\cos2x}{\sin2x}dx=\int\frac{d\left(\sin2x\right)}{\sin2x}=\ln\left|\sin2x\right|+C\)
b)\(\int\frac{e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{-6e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{d\left(1-3e^{2x}\right)}{1-3e^{2x}}=-\frac{1}{6}\ln\left|1-3e^{2x}\right|+C\)
c)\(\int\frac{2x-5}{x^2-5x+7}dx=\int\frac{d\left(x^2-5x+7\right)}{x^2-5x+7}=\ln\left|x^2-5x+7\right|+C\)
\(=\ln\left(x^2-5x+7\right)+C\)
d)\(\int\frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{2xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C\)
e) \(\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\sin xdx}{\sin^2x}=\int\frac{d\left(\cos x\right)}{\cos^2x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C\)