Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để hàm số xác định \(\forall x\in R\Leftrightarrow sin^4x+cos^4x-2msinx.cosx\ge0\) \(\forall x\)
Ta có:
\(sin^4x+cos^4x-2msinx.cosx=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2-m.sin2x\)
\(=1-2\left(\frac{1}{2}sin2x\right)^2-msin2x=-\frac{1}{2}sin^22x-msin2x+1\)
Xét \(f\left(t\right)=-\frac{1}{2}t^2-mt+1\) với \(t\in\left[-1;1\right]\)
\(f\left(-1\right)=\frac{1}{2}+m\) ; \(f\left(1\right)=\frac{1}{2}-m\)
Để \(f\left(t\right)\ge0\) \(\forall t\in\left[-1;1\right]\Rightarrow\min\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)\ge0\\f\left(1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\frac{1}{2}\\m\le\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{1}{2}\le m\le\frac{1}{2}\)
Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
Từ đó suy ra f'(x)=0
a) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
b) f(x)=1⇒f′(x)=0f(x)=1⇒f′(x)=0 ;
c) f(x)=\(\frac{1}{4}\)(\(\sqrt{2}\)-\(\sqrt{6}\))=>f'(x)=0
d,f(x)=\(\frac{3}{2}\)=>f'(x)=0
Lời giải:
\(y=\cos ^4x+\sin ^4x=(\cos ^2x+\sin ^2x)^2-2\cos ^2x\sin ^2x\)
\(=1-2(\sin x\cos x)^2\leq 1\) do \((\sin x\cos x)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
Do đó chọn đáp án B.
1/ Để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) + cos(x ) - 2m + 1 > 0 Để giải phương trình này, ta sử dụng một số phép biến đổi: cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 = (cos(x) + 2)(cos(x) - m + 1) Điều kiện để biểu thức trên dương là: cos(x) + 2 > 0 và cos(x) - m + 1 > 0 Với cos(x) + 2 > 0, ta có -2 < cos( x) < 0 Với cos(x) - m + 1 > 0, ta có m - 1 < cos(x) < 1 Tổng Hàm, để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, tham số m phải đáp ứng điều kiện -2 < cos(x) < 0 và m - 1 < cos(x) < 1. 2/ Để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) - 2cos(x) + m > 0 Đây là một phương trình bậc hai theo cos(x). Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức delta: Δ = b^2 - 4ac Ở đây, a = 1, b = -2, c = m. Ta có: Δ = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m = 4(1 - m) Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là 1 - m > 0 hay m < 1. Tổng quát, để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, tham số m phải đáp ứng m < 1. 3/ Để hàm số y = √sin^ 4 (x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: sin^4(x) + cos^4(x) - sin ^2(x) - m > 0 Đây cũng là một phương trình bậc hai theo sin(x). Ta sử dụng công thức delta as on, with a = 1, b = -1, c = -m. Δ = (-1)^2 - 4(1)(-m) = 1 + 4m = 4m + 1 Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là m > -1/4. Tổng quát, để hàm số y = √sin^4(x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, tham số m phải thỏa mãn m > -1/4.
1. Ta có: \(-1\le sinx\le1\)
\(\Rightarrow-3\le y\le3\) (hàm đã cho đồng biến trên \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)
\(y_{min}=-3\) khi \(sinx=-1\)
\(y_{max}=3\) khi \(sinx=1\)
2.
\(y=1-sin^2x-2sinx=2-\left(sinx+1\right)^2\)
Do \(-1\le sinx\le1\Rightarrow0\le sinx+1\le2\)
\(\Rightarrow-2\le y\le2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(sinx=1\)
\(y_{max}=2\) khi \(sinx=-1\)
3.
\(y=1-cos^2x+cos^4x=\left(cos^2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow y\ge\frac{3}{4}\Rightarrow y_{min}=\frac{3}{4}\) khi \(cos^2x=\frac{1}{2}\)
\(y=1+cos^2x\left(cos^2x-1\right)\le1\) do \(cos^2x-1\le0\)
\(\Rightarrow y_{max}=1\) khi \(\left[{}\begin{matrix}cos^2x=1\\cos^2x=0\end{matrix}\right.\)
4.
\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2\left(sinx.cosx\right)^2+sinx.cosx\)
\(y=1-\frac{1}{2}sin^22x+\frac{1}{2}sin2x\)
\(y=\frac{9}{8}-\frac{1}{2}\left(sinx-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{9}{8}\)
\(y_{max}=\frac{9}{8}\) khi \(sinx=\frac{1}{2}\)
\(y=\frac{1}{2}\left(sinx+1\right)\left(2-sinx\right)\ge0;\forall x\)
\(\Rightarrow y_{min}=0\) khi \(sinx=-1\)
Do \(3+sinx+cosx=3+\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ge3-\sqrt{2}>0;\forall x\)
Nên BPT đã cho tương đương:
\(mcosx+m-1< 3+sinx+cosx\) ;\(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)cosx-sinx< 4-m\)
\(\Leftrightarrow\frac{m-1}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}cosx-\frac{1}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}sinx< \frac{4-m}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}\) ; \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\frac{4-m}{\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}}>max\left(VT\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4-m>\sqrt{\left(m-1\right)^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m^2-8m+16>m^2-2m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m< \frac{7}{3}\)
\(\Rightarrow-10\le m\le2\)
Có \(13\) giá trị nguyên của m thỏa mãn
Hàm số đương nhiên xác định với mọi x, hình như bạn ghi nhầm đề ở đâu đó
uh sory mình đánh thiếu dấu căn