Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b\right)^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)\)
\(=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}.\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{2916}{529}\)
\(\le\frac{2916}{529}.\frac{\left(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}\right)^3}{27}=\frac{108}{529}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 1/Định nghĩa A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0 2/Tính chất + A>B ⇔ B < A + A>B và B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀n + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n 1 1 +A < B và A.B > 0 ⇒ > A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A + B ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A − B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)Sưu tầm và tuyển chọn 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(B=\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2a)(b+2c)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\)
\(\geq \frac{9}{(a+2b)(a+2c)+(b+2a)(b+2c)+(c+2a)(c+2b)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{(a^2+2ac+2ab+4bc)+(b^2+2bc+2ab+4ac)+(c^2+2bc+2ac+4ab)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2+6(ab+bc+ac)}(*)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cô-si:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2\geq 6(ab+bc+ac)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow B\geq \frac{9}{(a+b+c)^2+2(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}\)
(do \(a+b+c\leq 3)\)
Do đó: \(B_{\min}=\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
làm cái đề ra ấy, ngại viết lại đề :P
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow M=1^{2018}+1^{2019}+1^{2020}=1+1+1=3\)
bài này xài karamata là đẹp nhất nè nhanh gọn lẹ mà ko bt bn học chưa
Ahaha :D giỡn xíu lớp 8 có khi AM-HM còn chưa học :3, bài này với bn phải xài khai triển Abel 
\(Q=\frac{1}{c+1}+\frac{ab+abc-c-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}=\frac{1}{c+1}+\frac{ab-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}\)
\(=\frac{1}{c+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-1=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\)
Dự đoán dấu "=" rơi khi \(a=b-1=c-2=1\) nên c/m
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\geq \frac{5}{12}\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{a+1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{b}{b+1}-\frac{2}{3} \right )+\left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{c+1} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a-1}{2a+2}+\frac{b-2}{3b+3}+\frac{3-c}{4c+4}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left ( 3-c \right )\left ( \frac{1}{4c+4}-\frac{1}{3b+3} \right )+\left ( 3-c+b-2 \right )\left ( \frac{1}{3b+3}-\frac{1}{2a+2} \right )+\left ( 3-c+b-2+a-1 \right )\frac{1}{2a+2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left ( c-3 \right )\left ( 4c-3b+1 \right )}{12\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{\left ( b+1-c \right )\left ( 2a-3b-1 \right )}{6\left ( b+1 \right )\left ( a+1 \right )}+\frac{a+b-c}{2a+2}\geq 0\)
Hơi xấu nhỉ nhưng xong rồi đó :)
Vì \(a\le b\le c=>\frac{1}{a}\ge\frac{1}{b}\ge\frac{1}{c}=>1+\frac{1}{a}\ge1+\frac{1}{b}\ge1+\frac{1}{c}\)
\(=>\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(1+\frac{1}{c}\right)\)
\(=>3\left(1+\frac{1}{c}\right)\le3=>1+\frac{1}{c}\le1=>\frac{1}{c}\le0=>1\le0\)
Đề sai thì phải bn à
Ta có :
a. ( a+b+c) = - 12 (1)
b.(a+b+c) = 18 (2)
c.(a+b+c) =30 (3)
=> (1) + (2) + (3) = a.(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)= -12+18+30
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=36\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=6^2=\left(-6\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\in\left\{6;-6\right\}\)
Với \(a+b+c=6\)
Từ (1) => a = -12 : 6 = - 2
Từ (2) => b = 18 : 6 = 3
Từ (3) => c = 30 : 6 = 5
Với a + b + c = -6
Từ (1) => a = -12 : ( -6 ) = 2
Từ (2) => b = 18 : (-6) = -3
Từ (3) => c = 30: ( -6) = -5