Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2
Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :
Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!
B1:
\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
Thật vậy !!!
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)
Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)
\(\text{Đ}K\text{X}\text{Đ}:x\ne\pm2\)
Ta có: \(A=\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x^2+4x+4}\right)\div\left(\frac{2}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}\right)\)
\(=\left(\frac{2x+2-4}{\left(x+2\right)^2}\right):\left(\frac{2-x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right)=\frac{2x-2}{\left(x+2\right)^2}\cdot\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{-x}\)
\(=\frac{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{-x\left(x+2\right)}\)
\(A=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2-4x-1}{x^2-1}\right):\left(\frac{x+2006}{x}\right)\)
\(=\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1+x^2-4x-1}{x^2-1}\right):\left(\frac{x+2006}{x}\right)\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2-1}:\frac{x+2006}{x}=\frac{x}{x+2006}\)
Ta có :
\(A=\frac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)^2}\)
\(A=\frac{x^2+2x+1-x-1+1}{x^2+2x+1}\)
\(A=\frac{x^2+2x+1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{-x-1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)
\(A=\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}-\frac{x+1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1^2}{\left(x+1\right)^2}\)
\(A=1-\frac{1}{x+1}+\left(\frac{1}{x+1}\right)^2\)
Đặt \(a=\frac{1}{x+1}\) ta có :
\(A=1-a+a^2\)
\(A=a^2-a+1\)
\(A=\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\)
\(A=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a-\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a=\frac{1}{2}\)
Do đó :
\(a=\frac{1}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+1=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x=1\)
Vậy GTNN của \(A\) là \(\frac{3}{4}\) khi \(x=1\)
Chúc bạn học tốt ~