VH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
1
BT
0
AT
1
19 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có :
\(\left[\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\right]\left[\sqrt{1-x}^2+\sqrt{x}^2\right]\ge\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}.\sqrt{1-x}+\sqrt{\frac{1}{x}}.\sqrt{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)\left(1-x+x\right)\ge\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2\Rightarrow A\ge3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt{2}-1\)
YH
1
12 tháng 7 2020
Với mọi 0 < x < 1 ta có:
\(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{1-x}+\frac{1}{x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{1-x+x}=3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}=\sqrt{2}+1\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)
Kết luận:...
UN
1
28 tháng 4 2019
Thật ra bài này dùng bđt Cô-si thì rất ngắn gọn , tham khảo tại đây
Tìm GTNN của hàm số: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với $0<x<1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Và mình xin làm thêm 1 cách nữa ( Do vừa nghĩ r :VV khá thú vị =)) đó là miền giá trị theo phương pháp đặc biệt)
Từ đề bài ta rút ra được y > 2
Ta có \(y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{2x+1-x}{x\left(1-x\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{x+1}{x-x^2}\)
\(\Leftrightarrow yx-yx^2=x+1\)
\(\Leftrightarrow yx^2+x-yx+1=0\)
\(\Leftrightarrow yx^2+x\left(1-y\right)+1=0\)
Pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(1-y\right)^2-4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-2y+y^2-4y\ge0\)
\(\Leftrightarrow y^2-6y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\le3-2\sqrt{2}\\y\ge3+2\sqrt{2}\end{cases}}\)
Mà y > 2 nên y chỉ có thể lớn hơn hoặc bằng \(3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
Vậy \(y_{min}=3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
20 tháng 8 2015
Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau đây
Bổ đề. Với mọi số thực \(a,b,c\) và các số dương \(x,y,z\) ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(\left(ya^2+xb^2\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2abxy\) (Đúng).
Áp dụng bất đẳng thức trên hai lần ta được
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\)
Quay trở lại bài toán, ta có
\(A=\frac{\left(1-x\right)^2}{z}+\frac{\left(1-y\right)^2}{x}+\frac{\left(1-z\right)^2}{y}\ge\frac{\left(1-x+1-y+1-z\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(3-x-y-z\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}.\)
Khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy giá trị bé nhất của \(A\) là \(\frac{1}{2}\).