Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}dx+\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}dx=I_1+I_2\)
Do hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}\) liên tục và xác định trên \(\left[0;1\right]\) nên \(I_1\) là 1 tích phân xác định hay \(I_1\) hội tụ
Xét \(I_2\) , ta có \(f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}>0\) với mọi \(x\ge1\)
Đặt \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)x^2\sqrt{x}}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^3+1}}=1\) (1)
\(\int\limits^{+\infty}_1g\left(x\right)dx=\int\limits^{+\infty}_1\dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}dx\) hội tụ do \(\alpha=\dfrac{5}{2}>1\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow I_2\) hội tụ
\(\Rightarrow I\) hội tụ
\(\int f\left(4x\right)dx=\frac{1}{4}\int f\left(4x\right)d\left(4x\right)=\frac{1}{16}\left(4x\right)^2+\frac{3}{4}\left(4x\right)+C\)
\(\Rightarrow\int f\left(4x\right)d\left(4x\right)=\frac{1}{4}\left(4x\right)^2+3.\left(4x\right)+C\)
\(\Rightarrow\int f\left(x+2\right)dx=\int f\left(x+2\right)d\left(x+2\right)=\frac{1}{4}\left(x+2\right)^2+3\left(x+2\right)+C\)
\(=\frac{1}{4}x^2+4x+C\)
\(y'=x^2-\left(3m+2\right)x+2m^2+3m+1\)
\(\Delta=\left(3m+2\right)^2-4\left(2m^2+3m+1\right)=m^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{3m+2+m}{2}=2m+1\\x_2=\frac{3m+2-m}{2}=m+1\end{matrix}\right.\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Rightarrow x_1\ne x_2\Rightarrow m\ne0\)
- Nếu \(m>0\Rightarrow2m+1>m+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{CĐ}=m+1\\x_{CT}=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3\left(m+1\right)^2=4\left(2m+1\right)\) \(\Rightarrow3m^2-2m-1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{1}{3}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
- Nếu \(m< 0\Rightarrow m+1>2m+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{CĐ}=2m+1\\x_{CT}=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3\left(2m+1\right)^2=4\left(m+1\right)\Rightarrow12m^2+8m-1=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{-2+\sqrt{7}}{6}>0\left(l\right)\\m=\frac{-2-\sqrt{7}}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sum m=\frac{4-\sqrt{7}}{6}\)
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
Dễ dàng nhận thấy hàm dưới dấu tích phân dương
Đặt \(I=\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}+\int\limits^7_0\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}=A+B\)
Xét \(A=\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\) ; chọn \(g\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\) hữu hạn \(\Rightarrow\int\limits^0_{-2}f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^0_{-2}g\left(x\right)dx\) cùng hội tụ hoặc phân kỳ
Mà \(\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}}\) có \(\alpha=\frac{1}{2}< 1\) nên hội tụ \(\Rightarrow A\) hội tụ
Tương tự: xét \(B=\int\limits^7_0\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\) chọn \(g\left(x\right)=\frac{1}{\left(7-x\right)^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow7^-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{1}{3}\) hữu hạn
\(\Rightarrow\int\limits^7_0f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^7_0g\left(x\right)dx\) cùng bản chất
\(\alpha=\frac{1}{2}< 1\Rightarrow\int\limits^7_0g\left(x\right)dx\) hội tụ \(\Rightarrow B\) hội tụ
\(\Rightarrow I=A+B\) hội tụ
Tìm theo pp Lagrange bị 1 điểm cực trị có \(B^2-AC=0\) ko kết luận được, do đó nên đưa về cực trị của hàm 1 biến
\(\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2=98\Leftrightarrow\left(\frac{x+2}{7\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{y+2}{7\sqrt{2}}\right)^2=1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+2}{7\sqrt{2}}=sint\\\frac{y+2}{7\sqrt{2}}=cost\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\sqrt{2}sint-2\\y=7\sqrt{2}cost-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z=98sint.cost+35\sqrt{2}\left(sint+cost\right)-24\)
Đặt \(\sqrt{2}\left(sint+cost\right)=a\Rightarrow-2\le a\le2\)
\(\Rightarrow sint.cost=\frac{a^2}{4}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow z=\frac{49}{2}a^2+35a-73\) với \(a\in\left[-2;2\right]\)
\(z'_a=49a+35=0\Rightarrow a=-\frac{5}{7}\)
\(z\left(-2\right)=-45;z\left(2\right)=95;z\left(-\frac{5}{7}\right)=-\frac{171}{2}\)
\(\Rightarrow z_{min}=-\frac{171}{2}\) khi \(a=-\frac{5}{7}\) ; \(z_{max}=95\) khi \(a=2\)