Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2-2x-3\right)=m\)
Đặt \(x^2-2x-3=t\) (1)
(1) có 2 nghiệm x phân biệt khi \(\Delta'=1-\left(-3-t\right)>0\Rightarrow t>-4\)
Khi đó pt đã cho trở thành:
\(\left(t+8\right)t=m\)
\(\Leftrightarrow t^2+8t=m\) (2)
Do (2) là pt bậc 2 có tối đa 2 nghiệm nên pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn -4
Từ đồ thị \(f\left(t\right)=t^2+8t\) ta thấy ko tồn tại m thỏa mãn
\(\Leftrightarrow x^2-2x-m+\dfrac{2\left(x^2-2x-m\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{2x+m}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x-m\right)\left(1+\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{2x+m}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-m=0\)
1.a.
\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m\)
Đặt \(x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}\)
\(\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+2t\) với \(t\ge-\dfrac{49}{4}\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-1\right)=-1\) ; \(f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1\)
\(\Rightarrow\) BPT đúng với mọi x khi \(m\le-1\)
Có 30 giá trị nguyên của m
1b.
Với \(x=0\) BPT luôn đúng
Với \(x\ne0\) BPT tương đương:
\(\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m\)
Đặt \(x+\dfrac{4}{x}-2=t\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+5t\) trên \(D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D\) ; \(f\left(-6\right)=6\) ; \(f\left(2\right)=14\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge6\)
\(\Rightarrow m\le6\)
Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn
ĐK: \(-\dfrac{1}{2}\le x\le3\)
\(pt\Leftrightarrow-2x^2+5x+3+\sqrt{-2x^2+5x+3}=6+m\)
Đặt \(\sqrt{-2x^2+5x+3}=t\left(0\le t\le\dfrac{7\sqrt{2}}{4}\right)\)
\(pt\Leftrightarrow6+m=f\left(t\right)=t^2+t\)
\(f\left(0\right)=0;f\left(\dfrac{7\sqrt{2}}{4}\right)=\dfrac{49+14\sqrt{2}}{8}\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:
\(0\le6+m\le\dfrac{49+14\sqrt{2}}{8}\)
\(\Leftrightarrow-6\le m\le\dfrac{1+14\sqrt{2}}{8}\)
ĐKXĐ: \(\dfrac{-1}{2}\le x\le3\)\(\Rightarrow x\in\left[\dfrac{-1}{2};3\right]\)
ta có pt\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{-\left(2x^2-5x-3\right)}=2x^2-5x-3+6+m\)
Đặt \(\sqrt{-\left(2x^2-5x-3\right)}=t\ge0 \)
\(\Rightarrow-t^2=\left(2x^2-5x-3\right)\)
khi đó pt trở thành: \(t=-t^2+6+m\Leftrightarrow t^2+t-6-m=0\left(1\right)\)
để pt đã cho có nghiệm thì pt (1) có nghiệm
khi đó \(\Delta'=m+15\ge0\Leftrightarrow m\ge15\)
Vậy ....
ĐK; \(-1\le x\le3\)
Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\left(0\le t\le2\right)\)
\(pt\Leftrightarrow m+1=-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\)
\(\Leftrightarrow m+1=f\left(t\right)=t^2+4t\)
\(f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=12\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m+1\le maxf\left(t\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le m+1\le12\)
\(\Leftrightarrow-1\le m\le11\)
\(\left(x^2-2x+5\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)=m\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2-2x-3\right)=m\)
Đặt \(x^2-2x-3=t\Rightarrow t\in\left[-4;0\right]\)
\(\Rightarrow\left(t+8\right)t=m\)
\(\Leftrightarrow t^2+8t=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+8t\) trên \(\left[-4;0\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-4\) ; \(f\left(-4\right)=-16\) ; \(f\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow-16\le f\left(t\right)\le0\Rightarrow-16\le m\le0\)