Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xin phép tách ra để bài giải trở nên đẹp hơn :))
Do X1 ; X2 là 2 nghiệm của phương trình \(5x^2-3x-1\) nên theo định lý Viete ta có:
\(X_1X_2=-\frac{1}{5};X_1+X_2=\frac{3}{5}\) ( 1 )
Khi đó ta có:
\(A=\frac{X_1}{X_2}+\frac{X_1}{X_2+1}+\frac{X_2}{X_1}+\frac{X_2}{X_1+1}-\left(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}\right)\) ( theo mình ở đây là +,không biết có đúng ko :V )
\(=\frac{X_1^2+X_2^2}{X_1X_2}+\frac{X_1^2+X_1+X_2^2+X_2}{X_1X_2+X_1+X_2+1}-\frac{X_2+X_1}{X_1X_2}\)
\(=\frac{\left(X_1+X_2\right)^2-2X_1X_2-\left(X_1+X_2\right)}{X_1X_2}+\frac{\left(X_1+X_2\right)^2-2X_1X_2+\left(X_1+X_2\right)}{\left(X_1+X_2\right)+X_1X_2+1}\)
Bạn thay ( 1 ) vào là ra nhé :)
\(\left(-5\right)^2-4.\left(-3\right)\left(-2\right)=25-24=1>0\)
Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-5}{3}\\x_1x_2=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(M=x_1+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+x_2\\ =\left(x_1+x_2\right)+\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\ =\dfrac{-5}{3}+\dfrac{-5}{3}:\dfrac{2}{3}\\ =\dfrac{-5}{3}-\dfrac{5}{2}\\ =\dfrac{-25}{6}\)
-3x2-5x-2=0
Ta có :-3-(-5)-2=0
=>Phương trình có 2 nghiệm \(\hept{\begin{cases}x_1=-1\\x_2=\frac{-5}{3}\end{cases}}\)
Thay x1;x2 vào M ta được:
M=(-1)+\(\frac{1}{-1}\)+\(\frac{1}{\frac{-5}{3}}\)+\(\frac{-5}{3}\)
=(-1)+(-1)+\(-\frac{3}{5}+-\frac{5}{3}\)
=\(-\frac{64}{15}\)
\(\Delta=\left(2-m\right)^2-4.\left(-3\right)=\left(m-2\right)^2+12\ge0\) luôn đúng
Do đó pt luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) với mọi m
Ta có : \(\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x_1^2+2018-2\sqrt{\left(x_1^2+2018\right)\left(x_2^2+2018\right)}+x_2^2+2018=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2018-\sqrt{\left(x_1x_2\right)^2+2018\left(x_1+x_2\right)^2-4036x_1x_2+2018^2}=x_1x_2\) (*)
Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-3\end{cases}}\)
(*) \(\Leftrightarrow\)\(2018-\sqrt{\left(-3\right)^2+2018\left(m-2\right)^2-4036.\left(-3\right)+2018^2}=-3\)
\(\Leftrightarrow\)\(9+2018\left(m-2\right)^2+12108+2018^2=2021^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2018\left(m-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(m=2\)
Vậy với m=2 thì hai nghiệm pt thoả mãn \(\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2\)
\(\Delta^'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)=2-m\)
Để PT có nghiệm thì: \(m\le2\)
Khi đó theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)
Ta có: \(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1^4-x_2^4\right)-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2-x_1x_2-x_2^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[4-3\left(m-1\right)\right]=0\)
Nếu \(x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2=1\Rightarrow m=1\left(tm\right)\)
Nếu \(4-3\left(m-1\right)=0\Rightarrow m=\frac{7}{3}\left(ktm\right)\)
Vậy m = 1
x2+x-1=0 => x2 =1- x
x8 = (x2)4 = (1-x)4 = (x2 -2x +1)2 = (2-3x)2 = x2 +8x2 -12x +4 = x2 + 8(1-x) -12x +4 = x2 -20x +12
=> x8 +10x +13 = x2 -10x +25 = (x-5)2 => \(\sqrt{x^8+10x+13}=\left|x-5\right|\)
dễ thấy với x \(\ge5=>x^2+x-1>0\) nên 2 nghiệm x1;x2 đều nhỏ hơn 5
=> P(x1) +P(x2) = x1 +5- x1 + x2+ 5-x2 = 10
có một cách nữa là tìm ra hai nghiệm của x^2+x-1=0 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)và \(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)là 2 nghiệm x1,x2 rồi tính P1 và P2 bình thường nha mn
Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2m-8}{1}=4m+8\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-8\end{cases}}\)
mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=4m+8\Rightarrow x_1^2+x_2^2=4m+8-2x_1x_2\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=4m+8-2\left(m^2-8\right)=4m+8-2m^2+16=4m+24-2m^2\)
hay \(A=-2m^2+4m+24-\left(x_1+x_2\right)\)
\(=-2m^2+4m+24-4m-8=-2m^2+16\le16\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = 0
Theo hệ thức Viète ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m+1\end{cases}}\)
Khi đó x12 + x22 = 0 <=> ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 0
<=> 42 - 2( m + 1 ) = 0
<=> 16 - 2m - 2 = 0
<=> -2m = -14 <=> m = 7
Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 0
Ta có: \(x^2-5x+3=0\)
Áp dụng định lí viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=3\end{cases}}\)
a) \(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5^2-2.3=19\)
b) \(B=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=5^3-3.5.3=80\)
c) \(C=\left|x_1-x_2\right|\)>0
=> \(C^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=19-2.3=13\)
=> C = căn 13
d) \(D=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=5+\frac{5}{3}=5\frac{5}{3}\)
e) \(E=\frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3}=\frac{\left(x_1+x_2\right)+6}{x_1x_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}=\frac{5+6}{3+3.5+9}=\frac{11}{27}\)
g) \(G=\frac{x_1-3}{x_1^2}+\frac{x_2-3}{x_2^2}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-3\left(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\right)\)
\(=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}-3\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2.x_2^2}=\frac{5}{3}-3.\frac{19}{3^2}=-\frac{14}{3}\)