Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: \(x;y;z\ge0\)
Đặt \(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{5};\dfrac{\sqrt{y}}{4};\dfrac{\sqrt{z}}{3}\right)=\left(a;b;c\right)>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+4b+3c=12\\10a+20b+30c=60abc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+4b+3c=12\\a+2b+3c=6abc\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(12=\left(a+a+a+a+a\right)+\left(b+b+b+b\right)+\left(c+c+c\right)\ge12\sqrt[12]{a^5b^4c^3}\)
\(\Rightarrow a^5b^4c^3\le1\) (1)
\(6abc=a+b+b+c+c+c\ge6\sqrt[6]{ab^2c^3}\)
\(\Rightarrow a^6b^6c^6\ge ab^2c^3\Rightarrow a^5b^4c^3\ge1\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow a^5b^4c^3=1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(25;16;9\right)\)
ĐKXĐ:...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=12\\\frac{\sqrt{x}}{5}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\sqrt{z}=\frac{\sqrt{x}}{5}.\frac{\sqrt{y}}{2}.\sqrt{z}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left(\frac{\sqrt{x}}{5};\frac{\sqrt{y}}{4};\frac{\sqrt{z}}{3}\right)=\left(a;b;c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+4b+3c=12\\a+2b+3c=6abc\end{matrix}\right.\)
Từ pt đầu ta có:
\(12=5a+4b+3c\ge12\sqrt[12]{a^5.b^4.c^3}\Leftrightarrow a^5b^4c^3\le1\) (1)
Từ pt sau:
\(6abc=a+2b+3c\ge6\sqrt[6]{ab^2c^3}\Leftrightarrow abc\ge\sqrt[6]{ab^2c^3}\)
\(\Leftrightarrow a^6b^6c^6\ge ab^2c^3\Leftrightarrow a^5b^4c^3\ge1\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^5b^4c^3=1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(5;4;3\right)\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(25;16;9\right)\)
a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:
\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)
P/s: Không chắc cho lắm ạ.
Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,
Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6
Help meeee, please!
thanks nhiều
Lời giải:
PT $(1)$ tương đương với:
$x+2\sqrt{x}+1=y+z+2\sqrt{yz}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}+1$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+1)^2=(\sqrt{y}+\sqrt{z}+1)^2$
\(\left[\begin{matrix} \sqrt{x}=\sqrt{y}+\sqrt{z}\\ \sqrt{x}=-(\sqrt{y}+\sqrt{z})\end{matrix}\right.\)
Nếu $\sqrt{x}=-(\sqrt{y}+\sqrt{z})$
$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=0\Rightarrow x=y=z=0$ (không thỏa mãn PT $(2)$)
Nếu $\sqrt{x}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$
$\Rightarrow 3\sqrt{yz}=(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2-\sqrt{3z}+1$
$\Leftrightarrow \sqrt{yz}=y+z-\sqrt{3z}+1$
$\Leftrightarrow 4y+4z-4\sqrt{yz}-4\sqrt{3z}+4=0$
$\Leftrightarrow (2\sqrt{y}-\sqrt{z})^2+(\sqrt{3z}-2)^2=0$
$\Rightarrow (2\sqrt{y}-\sqrt{z})^2=(\sqrt{3z}-2)^2=0$
$\Rightarrow z=\frac{4}{3}; y=\frac{1}{3}; x=3$
a)
Từ phương trình (2) ⇔ x = √2 - y√3 (3)
Thế (3) vào (1): ( √2 - y√3)√2 - y√3 = 1
⇔ √3y(√2 + 1) = 1 ⇔ y = =
Từ đó x = √2 - . √3 = 1.
Vậy có nghiệm (x; y) = (1; )
b)
Từ phương trình (2) ⇔ y = 1 - √10 - x√2 (3)
Thế (3) vào (1): x - 2√2(1 - √10 - x√2) = √5
⇔ 5x = 2√2 - 3√5 ⇔ x =
Từ đó y = 1 - √10 - . √2 =
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ;
c)
Từ phương trình (2) ⇔ x = 1 - (√2 + 1)y (3)
Thế (3) vào (1): (√2 - 1)[1 - (√2 + 1)y] - y = √2 ⇔ -2y = 1 ⇔ y = -
Từ đó x = 1 - (√2 + 1)(-) =
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (; -
)