Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(2y=a\)thì ta được
\(P=\frac{1}{x^2+a^2}+\frac{1}{xa}=\left(\frac{1}{x^2+a^2}+\frac{1}{2xa}\right)+\frac{1}{2xa}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+a^2+2ax}+\frac{2}{\left(x+a\right)^2}=\frac{6}{\left(x+a\right)^2}\ge\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Ta có: 4x2 + 12xy + 10y2 + 4x + 4y + 2 = 0
<=> (4x2 + 12xy + 9y2) + 2(2x + 3y) + 1 + (y2 - 2y + 1) = 0
<=> (2x + 3y)2 + 2(2x + 3y) + 1 + (y - 1)2 = 0
<=> (2x + 3y + 1)2 + (y - 1)2 = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}2x+3y+1=0\\y-1=0\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{1+3y}{2}\\y=1\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)(tm)
Khi đó: P = \(\frac{x^2+y^2+xy}{3xy}=\frac{\left(-2\right)^2+1^2-2.1}{3.\left(-2\right).1}=-\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1\div16}{16x\div16}+\frac{1\div4}{4y\div4}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1}{x+y+z}=\frac{21}{16}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{16}{21}\end{cases}}\)
Vậy MinP = 49/16
2) \(x^4-x^2+2x+2\)
\(=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x-1+2\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2+x\right)^2\)
Vậy \(x^4-x^2+2x+2\)là số chính phương với mọi số nguyên x
Lời giải:
ĐKĐB $\Leftrightarrow (x^2+4y^2-4xy)+8x=5$
$\Leftrightarrow (x-2y)^2+8x=5$.
Đặt $x-2y=a; x=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a^2+8b=5$. Tìm max của $B=-2a+8b$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+1\geq 2\sqrt{a^2}=2|a|\geq -2a$
$\Rightarrow a^2+1\geq -2a$
$\Rightarrow a^2+8b+1\geq -2a+8b$
$\Leftrightarrow 6\geq B$. Vậy $B_{\max}=6$
\(A=\left(1+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}.2\sqrt{\frac{y^2}{x^2}}=2.\frac{x}{y}.2.\frac{y}{x}=4\) ( Cosi )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
...
Áp dụng Bđt Bunhiacopxki vào 2 số \(x^2+4y^2\) và \(1+\dfrac{1}{4}\) có:
\(\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\ge\left(x+y\right)^2=A^2\Rightarrow A^2\le25\Rightarrow A\le5\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1}=\dfrac{4y^2}{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow x^2=16y^2\Rightarrow x=4,y=1\)
\(x-4y=5\Rightarrow x=4y+5\)
\(A=\left(4y+5\right)^2+4y^2=20y^2+40y+25\)
\(A=20\left(y+1\right)^2+5\ge5\)
\(A_{min}=5\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)