Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
1) \(21x^2+21y^2+z^2\)
\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)
\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)
\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6
2) \(x+y+z=3xyz\)
<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)
Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3
Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)
Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)
\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)
Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)
khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
1) Bài này có 2 cách giải
Cách 1:
để ý rằng \(\hept{\begin{cases}1-x^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)=\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)\\x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)
ta có: \(\frac{1-x^2}{x+yz}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
trong đó: \(a=y+z;b=z+x;c=x+y\). Tương tự, ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{y+zx}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\end{cases}}\)
Do đó sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT_{\left(1\right)}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
Cách 2:
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x+yz\le x+\frac{\left(y+z\right)^2}{4}=x+\frac{\left(1-x\right)^2}{4}=\frac{\left(1+x\right)^2}{4}\)
Do đó: \(\frac{1-x^2}{x+yz}\ge\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(1+x\right)^2}=\frac{4\left(1-x\right)}{1+x}=4\left(\frac{2}{1+x}-1\right)\)
tương tự có:\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{x+yz}\ge4\left(\frac{2}{1+y}-1\right)\\\frac{1-z^2}{z+xy}\ge4\left(\frac{2}{1+z}-1\right)\end{cases}}\)
Cộng các đánh giá trên và sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta được
\(VT_{\left(1\right)}\ge8\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)-12\)
\(\ge8\cdot\frac{9}{3+x+y+z}+12=6\)
VT \(\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3.z^3.1}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3.x^3.1}}}{zx}\)( cauchy)
= \(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)
\(\ge3\sqrt{3}\)( cauchy)
"=" <=> x = y =z.
Bài này dùng \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) được không nhỉ ??
Em ngại làm lắm cô Chi, cô thử cách này có được không ạ ?
\(xyz+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}\)
Các mấy cái kia cũng biến đổi vậy.
Không chắc nx :((
Bài 2:
Ta có: \(a,b>0\) nên: \(\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Lại có: \(\frac{x^3+8y^3}{x^3}=\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)\) \(\le\frac{\left(2x^2+4y^2\right)^2}{4x^4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}\)
Tương tự như trên ta có được: \(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) nên:
\(\Rightarrow2y^2+\left(x+y\right)^2\le2x^2+4y^2\)
\(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow Min_P=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y^2\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+2y^2\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt cosi)
=> \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge4\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge16\) <=> \(x+y\ge4\)
CM bđt tương đương: \(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}\le\frac{2}{5}\)
<=> \(\frac{5\left(x+3\right)+5\left(y+3\right)}{\left(y+3\right)\left(y+3\right)}\le2\)
<=> \(2\left(xy+3x+3y+9\right)\ge5x+5y+30\)
<=> \(2.4+6\left(x+y\right)+18-5\left(x+y\right)-30\ge0\)
<=> \(x+y-4\ge0\) (vì x + y \(\ge\)4)
<=> \(4-4\ge0\) (Luôn đúng)
=> ĐPCM