Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Với \(n=1\) .
\(2^n=2^2=4;2n+1=2.2+1=5\).
Với n = 1 thì \(2^n< 2n+1\).
Với \(n=2\)
\(2^n=2^3=8;2n+1=2.3+1=7\)
Với n = 2 thì \(2^n>2n+1\).
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp giả thiết:
Với \(n\ge2\) thì \(2^n>2n+1\). (*)
Với n = 2 (*) đúng .
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>2k+1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(2^{k+1}=2.2^k>2.\left(2k+1\right)=4k+2>2\left(k+1\right)+1\) (với \(k\ge2\)).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.
b)
Tương tự như câu a ta kiểm tra được với \(n\ge7\) thì \(2^n>n^2+4n+5\). (*)
Với n = 7.
\(2^7=128\); \(n^2+4n+5=7^2+4.7+5=82\).
Vì \(2^7>7^2+4.7+7\) nên (*) đúng với n = 7.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(2^k>k^2+4k+5\).
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1}>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp suy ra:
\(2^{k+1}=2.2^k>2\left(k^2+4k+5\right)=2k^2+8k+10\)
\(=\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5+k^2+2k\)\(>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge7\).
Bạn sai ở chỗ này:
\(2cos2x=2cos2x.sinx\)
\(\Leftrightarrow sinx=\frac{2cos2x}{2cos2x}\)
Đúng ra phải là: \(\Leftrightarrow2cos2x.sinx-2cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow2cos2x\left(sinx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\\sinx=1\end{matrix}\right.\)
a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).
b)
Với \(n=8\)
\(2^{n-3}=2^{8-3}=2^5=32\); \(3n-1=3.8-1=23\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=8\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\left(k\ge8\right)\).
Nghĩa là: \(2^{k-3}>3k-1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1-3}>3\left(k+1\right)-1\)\(\Leftrightarrow2^{k-2}>3k+2\).
Thật vậy \(2^{k-2}=2.2^{k-3}>2\left(3k-1\right)=6k-2\)\(=3k+2+3k-4\).
Do \(k\ge8\) nên \(k-4>0\) vì vậy \(2^{k-2}>3k+2\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge8\).
Đề bài không rõ ràng. n ở đây là tự nhiên, nguyên hay là chơi luôn cả R
\(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}}=\frac{3^n.\left(n+1\right)}{n.3^{n+1}}=\frac{n+1}{3.n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
3k > 3k + 1
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k - 1 > 0 nên
3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
2k + 1 > 2k + 3 (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
a) Xét P(n) : “3n < n + 100”:
+ Với n = 1, P(1) trở thành: “31 < 1 + 100”. Mệnh đề đúng vì 31 = 3 < 1 + 100 = 101.
+ Với n = 2, P(2) trở thành: “32 < 2 + 100”. Mệnh đề đúng vì 32 = 9 < 2 + 100.
+ Với n = 3, P(3) trở thành: “33 < 3 + 100”. Mệnh đề đúng vì 33 = 27 < 3 + 100.
+ Với n = 4, P(4) trở thành: “34 < 4 + 100”. Mệnh đề đúng vì 34 = 81 < 4 + 100.
+ Với n = 5, P(5) trở thành: “35 < 5 + 100”. Mệnh đề sai vì 35 = 243 > 5 + 100.
Xét Q(n): “2n > n”.
+ Với n = 1, Q(1) trở thành: “21 > 1”. Mệnh đề đúng vì 21 = 2 > 1.
+ Với n = 2, Q(2) trở thành: “22 > 2”. Mệnh đề đúng vì 22 = 4 > 2.
+ Với n = 3, Q(3) trở thành: “23 > 3”. Mệnh đề đúng vì 23 = 8 > 3.
+ Với n = 4, Q(4) trở thành: “24 > 4”. Mệnh đề đúng vì 24 = 16 > 4.
+ Với n = 5, Q(5) trở thành: “25 > 5”. Mệnh đề đúng vì 25 = 32 > 5.
b)
+ Nhận thấy P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5).
+ Với mọi n ∈ N*, Q(n) luôn đúng.