Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M N Q P O R S T A B C H M D I A B C D K G M K E P F (Hình a) (Hình b) (Hình c) Q I
Bài toán 1: (Hình a)
Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.
Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR
Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)
\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)
Dễ thấy NS là đường trung bình của \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)
Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)
Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ
=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).
Bài toán 2: (Hình b)
Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)
=> MC2 = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 900 , trung tuyến HM => HM = MC
Do đó MH2 = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI
=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).
Bài toán 3: (Hình c)
a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.
Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC
Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD
Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)
=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=450) => B,A,F thẳng hàng
=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM
Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E
=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).
b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE
Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).
a) xét tg EAC và tg BAF
có: EA = BA (gt); ^EAC =^BAF ( ^EAB = ^ FAC = 90 độ, ^BAC chung); AC = AF(gt)
=> tg EAC = tg BAF(c-g-c)
=> EC = BF ( 2 cạnh t/ư)
b) Kẻ \(EG\perp AH⋮G;FK\perp AH⋮K\)
xét tg EGA vuông tại G và tg AHB vuông tại H
có: EA = AB (gt); ^EAG =^ABH ( cùng phụ với ^BAH)
=> tg EGA = tg AHB( ch-gn)
=> EG = AH ( 2 cạnh t/ư) (1)
chứng minh tương tự, có: tg AFK = tg CAH(ch-gn)
=> FK = AH (2 cạnh t/ư) (2)
Từ(1);(2) => EG = FK (=AH)
xét tg EGI vuông tại G và tg FKI vuông tại K
có: EG = FK (cmt); ^EIG = ^FIK (đ đ)
=> tg EGI = tg FKI ( cgv -gn)
=> EI = FI (2 canh t/ư)
=> I là trung điểm của EF
...
hình bn tự kẻ nha
B A E M K C H
a) Bạn ghi câu a) không rõ ràng nên mình thay thế bằng ý kiến của mình nhé !
CMR : \(\Delta ABE=\Delta HBE\)
Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có :
\(BA=BH\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )
\(BE:chung\)
=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)
b) Gọi \(AH\cap BE=\left\{O\right\};O\in BE\)
Xét \(\Delta ABO,\Delta HBO\) có :
\(AB=BH\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABO}=\widehat{HBO}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) ; \(O\in BE\))
AO : Chung
=> \(\Delta ABO=\Delta HBO\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{BOA}=\widehat{BOH}\) (2 góc tương ứng)
Mà : \(\widehat{BOA}+\widehat{BOH}=180^o\left(Kềbù\right)\)
=> \(\widehat{BOA}=\widehat{BOH}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> \(BO\perp AH\)
Hay : \(BE\perp AH\)
c) Ta chứng minh được : \(\Delta BKE=\Delta BCE\)
Suy ra : \(EK=EC\) (2 cạnh tương ứng)
d) Xét \(\Delta ABC\) có :
BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (1)
Xét \(\Delta KEM,\Delta CEM\) có :
\(EK=EC\left(cmt\right)\)
\(EM:chung\)
\(KM=CM\) (M là trung điểm của KC)
=> \(\Delta KEM=\Delta CEM\left(c.c.c\right)\)
=> \(\widehat{MEK}=\widehat{MEC}\) (2 góc tương ứng)
=> EM là tia phân giác của \(\widehat{KEC}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(BE\equiv ME\)
=> B, E, M thẳng hàng
=> đpcm.
Theo a) ΔEKI = ΔGKJ nên KI = KJ.
Mặt khác, theo giả thiết K là trung điểm của AL nên KA = KL.
Suy ra: KA – KI = KL – KJ hay IA= JL.
Ta có: ∆ACH= ∆ GAJ ( theo a) nên HC = AJ;
∆ABH = ∆ EAI nên BH = AI.
+) Suy ra:
AL = AJ + JL = AJ + AI = HC + HB = BC
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AB. Trên tia CM lấy K sao cho M là trung điểm CK ..A) CM tam giác MBK= tam giác MAC..B)CM AK// BC..C) qua B kẻ đường thẳng vuông với BC cắt CA tại I.Kẻ AH vuông với BC(H thuộc BC) tia AH cắt KB tại D; CM AI= BD
a: Xét ΔMBK và ΔMAC có
MB=MA
\(\widehat{BMK}=\widehat{AMC}\)
MK=MC
DO đó: ΔMBK=ΔMAC
b: Xét tứ giác ACBK có
M là trung điểm của CK
M là trung diểm của AB
Do đó:ACBK là hình bình hành
Suy ra: AK//BC
B A C D K H I
a ) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H ta có :
\(\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^o\) ( hai góc phụ nhau )
\(\widehat{HAB}=90^o-\widehat{HBA}=90^o-60^o=30^o\)
Vậy \(\widehat{HAB}=60^o\)
b ) Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ADI\)có :
AH = AD (gt)
IH=ID (gt)
AI cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta ADI\left(c.c.c\right)\)
Suy ra \(\widehat{HIA}=\widehat{DIA}\) ( hai góc tương ứng )
Mà \(\widehat{HIA}+\widehat{DIA}=180^o\) ( 2gocs kề bùy )
\(\Rightarrow\widehat{HIA}=\widehat{DIA}=90^o\)
Do đó \(AI\perp HD\left(đpcm\right)\)
c ) Vì \(\Delta AHI=ADI\) ( cm câu b )
\(\Rightarrow\widehat{HAK}=\widehat{DAK}\) ( 2 góc tương ứng )
Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta ADK\) có ;
AH = AD (gt)
\(\widehat{HAK}=\widehat{DAK}\left(cmt\right)\)
AK cạn chung
\(\Rightarrow\Delta AHK=\Delta ADK\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{ADK}=90^o\) ( 2 góc tương ứng )
\(\Rightarrow AD\perp AC\)
Mà \(BA\perp AC\left(\Delta ABC\perp A\right)\)
AD//AB ( đpcm)
+) Xét tam giác EIA vuông tại I nên :
+) Xét hai tam giác ABH và ∆EAI có:
AB = AE ( vì ABDE là hình vuông)
Suy ra: ∆ABH = ∆ EAI ( cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = EI ( hai cạnh tương ứng)
+) Tương tự hai tam giác vuông ACH và GAJ bằng nhau.
⇒ AH = GJ.
Suy ra EI = AH = GJ.
+) Xét ΔEKI và ΔGKJ có:
EI = GJ ( chứng minh trên)
∠(IKE) = ∠(JKG) (đối đỉnh).
do đó ΔEKI = ΔGKJ ( cgv – gn)
suy ra: KE = KG
Từ đó ta có K trung điểm của EG. Vậy AK là trung tuyến của tam giác AEG.