Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)\(\left(1\right)\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\)\(\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(luôn đúng )
\(\Rightarrow\)Phương trình ( 1) đúng ( đpcm)
Dấu bằng sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)
@Phạm Thị Thùy Linh hoặc có thể dùng bđt Cauchy cũng được, sau này lên lớp 9 sẽ áp dụng nhiều
Bài làm :
Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{cases}}\)
Cộng vế của các bất đẳng thức ta được :
\(x^2+y^2+y^2+z^2+x^2+z^2\ge2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz\ge0\\\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow xyz+\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz+8-4x-4y-4z+2xy+2xz+2yz-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(x+y+z\right)+2xy+2xz+2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-12+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-12+3^2\ge x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị