Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)
Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn
Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)
b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)
Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):
\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)
c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)
Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)
SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)
Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)
a/ \(\frac{A^4_n}{A_{n+1}^3-C_n^{n-4}}=\frac{24}{23}\Rightarrow n=5\)
Khai triển \(\left(2-3x^2+x^3\right)^5\)
\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_3=5\\2k_2+3k_3=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_3\right)=\left(1;3;1\right);\left(2;0;3\right)\)
Hệ số của số hạng chứa \(x^9\):
\(\frac{5!}{1!.3!.1!}.2^1.\left(-3\right)^3+\frac{5!}{2!.3!}.2^2.\left(-3\right)^0=-1040\)
b/ SHTQ của khai triển: \(\left(1+2x\right)^n\) là: \(C_n^k2^kx^k\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển tổng quát là \(C_n^32^3\)
\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển của \(f\left(x\right)\): \(2^3.\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3\)
Tính tổng \(C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)
\(=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)
\(=C_5^4+C_5^3+...+C_{22}^3\)
\(=C_6^4+C_6^3+...+C_{22}^3=...=C_{23}^4\)
Vậy \(2^3\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3=2^3.C_{23}^4\)
\(\sum_{k=1}^nC^k_{2n+1}=2^{20}-1\)
\(\frac{\sum_{k=1}^n\left(2C^k_{2n+1}\right)+1+1}{2}=2^{20}\)
\(C^0_{2n+1}+\sum_{k=1}^n\left(C^k_{2n+1}+C_{2n+1}^{2n+1-k}\right)+C^{2n+1}_{2n+1}=2^{21}\)
\(\sum_{k=0}^{2n+1}C^k_{2n+1}=2^{21}\)
\(\Rightarrow2n+1=21\Rightarrow n=10\)
Số hạng chứa \(x^{26}\) có dạng là:
\(C^k_{10}.\left(\frac{1}{x^4}\right)^k.\left(x^7\right)^{10-k}\Rightarrow-4k+7.\left(10-k\right)=26\)
\(\Rightarrow k=4\)
hệ số của \(x^{26}\) là:
\(C^4_{10}=210\)
Bài 1:
\(\left(x^{-\frac{1}{5}}+x^{\frac{1}{3}}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(x^{-\frac{1}{5}}\right)^k\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{10-k}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^{\frac{10}{3}-\frac{8k}{15}}\)
Trong khai triển trên có 11 số hạng nên số hạng đứng giữa có \(k=6\)
\(\Rightarrow\) Số hạng đó là \(C_{10}^6x^{\frac{10}{3}-\frac{48}{15}}=C_{10}^6x^{\frac{2}{15}}\)
Bài 2:
\(\left(1+x^2\right)^n=a_0+a_1x^2+a_2x^4+...+a_nx^{2n}\)
Cho \(x=1\Rightarrow2^n=a_0+a_1+...+a_n=1024=2^{10}\)
\(\Rightarrow n=10\)
\(\left(1+x^2\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^{2k}\)
Số hạng chứa \(x^{12}\Rightarrow2k=12\Rightarrow k=6\) có hệ số là \(C_{10}^6\)
Bài 3:
\(\left(x-\frac{1}{4}\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-k}\)
Với \(k=n-2\Rightarrow\) hệ số là \(C_n^{n-2}\left(-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}C_n^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{16}C_n^2=31\Rightarrow C_n^2=496\Rightarrow n=32\)
Bài 4:
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^nC_n^n\)
Cho \(x=2\) ta được:
\(\left(1+2\right)^n=C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+...+2^nC_n^n\)
\(\Rightarrow S=3^n\)
Bài 5:
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^{2k}C_n^{2k}+x^{2k+1}C_n^{2k+1}+...\)
Cho \(x=-1\) ta được:
\(0=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+...+C_n^{2k}-C_n^{2k+1}+...\)
\(\Rightarrow C_n^0+C_n^2+...+C_n^{2k}+...=C_n^1+C_n^3+...+C_n^{2k+1}+...\)
Bài 6:
\(\left(1-4x+x^2\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k\left(-4x+x^2\right)^k=\sum\limits^5_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_5^kC_k^i\left(-4\right)^ix^{2k-i}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2k-i=5\\0\le i\le k\le5\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(1;3\right);\left(3;4\right);\left(5;5\right)\)
Hệ số: \(\left(-4\right)^1.C_5^3C_3^1+\left(-4\right)^3C_5^4.C_4^3+\left(-4\right)^5C_5^5.C_5^5\)
Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:
a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)
Số hạng chứa \(x^8\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)
Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)
b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)
Số hạng chứa \(x^5\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)
Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)
3.
\(x-2y+1=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)
\(y'=\frac{2}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\frac{2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=1\\x=-3\Rightarrow y=3\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)+1\\y=\frac{1}{2}\left(x+3\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\left(l\right)\\y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
4.
\(\lim\limits\frac{\sqrt{2n^2+1}-3n}{n+2}=\lim\limits\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-3}{1+\frac{2}{n}}=\sqrt{2}-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\)
5.
\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{2\left(x^2-a^2\right)+a\left(a+1\right)-\left(a+1\right)x}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(2x+2a\right)-\left(a+1\right)\left(x-a\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(2x+a-1\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{2x+a-1}{x+a}=\frac{3a-1}{2a}\)
1.
\(f'\left(x\right)=-3x^2+6mx-12=3\left(-x^2+2mx-4\right)=3g\left(x\right)\)
Để \(f'\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\) \(\Leftrightarrow g\left(x\right)\le0;\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-4\le0\Rightarrow-2\le m\le2\)
\(\Rightarrow m=\left\{-1;0;1;2\right\}\)
2.
\(f'\left(x\right)=\frac{m^2-20}{\left(2x+m\right)^2}\)
Để \(f'\left(x\right)< 0;\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-20< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{20}< m< \sqrt{20}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4\right\}\)
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt[3]{x}+1\right)\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1\right)}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}-\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)^{10}\)
\(=\left(\sqrt[3]{x}+1-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right)^{10}=\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}=\left(x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{-1}{2}}\right)^{10}\)
\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k.\left(-1\right)^{10-k}.\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^k.\left(x^{\frac{-1}{2}}\right)^{10-k}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(-1\right)^{10-k}x^{\frac{5k-30}{6}}\)
Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow\frac{5k-30}{6}=0\Rightarrow k=6\)
\(\Rightarrow C_{10}^6.\left(-1\right)^4=210\)
