K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 11 2015

\(\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{2}{2\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}\)

\(2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)<\frac{1}{\sqrt{k}}<2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)

 \(2\sqrt{3}-2\sqrt{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<2\sqrt{2}-2\sqrt{1}\)

\(2\sqrt{4}-2\sqrt{3}<\frac{1}{\sqrt{3}}<2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{5}-2\sqrt{4}<\frac{1}{\sqrt{4}}<2\sqrt{4}-2\sqrt{3}\)

.......................................................................

\(2\sqrt{101}-2\sqrt{100}<\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-2\sqrt{99}\)

Cộng từng vế ta dc

\(2\sqrt{101}-2\sqrt{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-2\sqrt{1}\)

\(17<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}<18\)

20 tháng 10 2018

Quy đồng hết lên

CHú yys : nên c/m từng cái một thì hơn

/

16 tháng 11 2018

mèo conavt2714691_60by60.jpg

18 tháng 1 2020

+ \(2\cdot\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< 2\cdot\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\) \(\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)

\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{101}-\sqrt{2}\right)>17\)

+ \(A< 2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\Rightarrow A< 2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019

Lời giải:

Liên hợp ta thấy:

\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)

\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)

------------------------

Áp dụng vào bài toán:

\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)

\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)

Và:

\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)

\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)

Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2019

Bạn tham khảo lời giải tại link sau:

Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến