Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{2}{2\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}\)
\(2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)<\frac{1}{\sqrt{k}}<2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
\(2\sqrt{3}-2\sqrt{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}<2\sqrt{2}-2\sqrt{1}\)
\(2\sqrt{4}-2\sqrt{3}<\frac{1}{\sqrt{3}}<2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{5}-2\sqrt{4}<\frac{1}{\sqrt{4}}<2\sqrt{4}-2\sqrt{3}\)
.......................................................................
\(2\sqrt{101}-2\sqrt{100}<\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-2\sqrt{99}\)
Cộng từng vế ta dc
\(2\sqrt{101}-2\sqrt{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-2\sqrt{1}\)
\(17<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}<18\)
+ \(2\cdot\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< 2\cdot\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\) \(\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)\)
\(\Rightarrow A>2\left(\sqrt{101}-\sqrt{2}\right)>17\)
+ \(A< 2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\Rightarrow A< 2\left(\sqrt{100}-1\right)=18\)
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến