Tính đạo hàm của hàm số: y = ...

1=

f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số nghịch biếnđồng biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số nghịch biếnđồng biến.

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

\left(\dfrac{3\pi}{2};\pi\right)(23π;π)

I. Tính đơn điệu của hàm sốHãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:Luyện tập Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?(0;\pi)(0;π)(-\dfrac{\pi}{2};0)(−2π;0)(\pi;\dfrac{3\pi}{2})(π;23π)(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2})(−2π;2π)Kiểm tra1. Định nghĩa:Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử...

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số nghịch biếnđồng biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

#Toán lớp 12

0

TT

Tran Thi Ninh

14 tháng 10 2021 - olm

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

sdddssKiểm tra

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

Luyện tập

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) đồng biến (tăng) trên KK nếu với mọi cặp x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) nghịch biến (giảm) trên KK nếu với mọi cặp mà x_1,x_2\in Kx1,x2∈K mà x_1< x_2x1<x2 thì f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên KK được gọi chung là hàm số đơn điệu trên KK.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2);

f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Luyện tập

Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2}y=−2x2 với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm y'=-xy′=−x.

Trên khoảng \left(-\infty;0\right)(−∞;0) đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số đồng biếnnghịch biến.

Trên khoảng \left(0;+\infty\right)(0;+∞) đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số đồng biếnnghịch biến.

\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)(2π;23π)

Định lý: Cho hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 với mọi xx thuộc K thì hàm số f\left(x\right)f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 với mọi xx thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Luyện tập

Xét hàm số y=\sin xy=sinx trên khoảng \left(0;2\pi\right)(0;2π) có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=\sin xy=sinx đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'\left(x\right)\ge0f′(x)≥0 (hoặc f'\left(x\right)\le0f′(x)≤0), \forall x\in K∀x∈K và f'\left(x\right)=0f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7y=2x3+6x2+6x−7 có đạo hàm y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}y′=6x2+12x+6=6(x+1)2≥0,∀x∈R. Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}R.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right)f′(x). Tìm các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Luyện tập

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2y=31x3−21x2−2x+2.

1) Tập xác định: \mathbb{R}R.

2) y'=x^2-x-2y′=x2−x−2, y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right.y′=0⇔[x=−1x=2

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên các khoảng \left(-\infty;-1\right)(−∞;−1) và \left(2;+\infty\right)(2;+∞).

Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản \left(-1;2\right)(−1;2).

Cho hàm số $y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)$, viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của (C) biếta) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d:y=\frac{1}{8}x-1$b) $\Delta$ tạo với 2 đường thẳng $d_1:2x-y+2=0$ và $d_2:x-2y+3=0$ một tam giác cân có đỉnh là giao điểm...

#Toán lớp 12

4

TT

Tran Thi Ninh

14 tháng 10 2021

có vẻ ngắn

Đúng(0)

PL

Phí Lê Tường Vi

14 tháng 10 2021

đọc hết thanh xuân

Đúng(0)

HD

Hoài Đoàn

17 tháng 12 2016

cho y= -2x³ - 3(2a +1)x² -6a(a+1)+2 có cực trị tại x₁; x₂. khi đó trị tuyệt đối x₁ - x₂là bao nhiêu

#Toán lớp 12

1

NH

Nguyễn Hoàng Việt

17 tháng 12 2016

$y'=-6x^2-6\left(2a+1\right)x-6a\left(a+1\right)$

$y'=0\Leftrightarrow x^2+\left(2a+1\right)x+a\left(a+1\right)=0$

$\Delta=\left(2a+1\right)^2-4a\left(a+1\right)=1>0\forall a$

Ta có $x_1+x_2=-\left(2a+1\right)$ và $x_1x_2=a\left(a+1\right)$ (theo Vi-ét)

$\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=...$

Đúng(0)

HD

Hoài Đoàn

17 tháng 12 2016

nếu làm như vậy là đề của mình cho sai chỗ -6a (a+1)thiếu biến x. làm mình giải không đươc. cô thầy in đề kiểu này bắt học sinh giải

Đúng(0)

LD

Lê Đỗ Bảo Quyên

27 tháng 4 2016

Cho đồ thị hàm số y=\cos xy=cosx như hình vẽ sau:Hàm số giảm trong khoảng nào dưới...

#Toán lớp 12

1

TA

Thiên An

27 tháng 4 2016

Tập xác định : $D=R$

Gọi tiếp điểm là $M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x$

Hệ số gọc của $\Delta$ là $k=y'\left(x_0\right)$

a) Vì $\Delta\perp d$ nên $\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1$

$x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}$

Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là $\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}$

b) Phân giác của 2 đường $d_1;d_2$ là :

$\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Từ giả thiết suy ra $\Delta$ vuông góc với các đường phân giác của $d_1;d_2$ nên hệ số góc của $\Delta$ là $\pm1$ ( $\Delta$ không đi qua giao điểm của $d_1;d_2$)

* Trường hợp 1: Với k = 1 ta có $-4x_0^3-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}$

Suy ra $\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}$ hay $y=x+\frac{101}{16}$

* Trường hợp 2: Với k = -1 ta có $-4x_0^3-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}$

Suy ra $\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}$ hay $y=x+\frac{85}{16}$

Đúng(0)

TT

Trình TN

16 tháng 6 2016

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và ASB=60^o
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
2) Tính thể tích hình chóp.

#Toán lớp 12

0

LT

Lã Tấn Dũng

21 tháng 10 2021 - olm

I. Khái niệm cực đại, cực tiểuLuyện tập Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.Kiểm tra Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có...

#Toán lớp 12

6

TB

Trần Bá Khôi Nguyên

21 tháng 10 2021

khong biet

Đúng(0)

DT

Đặng Thanh Xuân

21 tháng 10 2021

chịu lun

Đúng(0)

TT

Tran Thi Ninh

14 tháng 10 2021 - olm

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Luyện tập

Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.

Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.

Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.

Chú ý:

1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

III. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Luyện tập

Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.

Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.

Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2

f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.

Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.

Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Luyện tập

Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.

Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.

Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.

Chú ý:

1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

III. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Luyện tập

Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.

Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.

Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2

f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.

Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.

Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Luyện tập

Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.

Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.

Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.

Chú ý:

1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

III. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Luyện tập

Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.

Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.

Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2

f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.

Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.

Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Luyện tập

Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.

Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.

Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.

Chú ý:

1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

III. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Luyện tập

Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.

Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.

Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2

f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.

Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.

Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Luyện tập

Hàm số y=-x^2+1y=−x2+1 có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm y'=0y′=0 tại x=x=.

Trên khoảng \left(-\infty;+\infty\right)(−∞;+∞) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x=x=.

Định nghĩa: Hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng \left(a;b\right)(a;b) (có thể a là -\infty−∞, b là +\infty+∞ ) và điểm x_0\in\left(a;b\right)x0∈(a;b).
a) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)< f\left(x_0\right)f(x)<f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại tại x_0x0.
b) Nếu tồn tại số h>0h>0 sao cho f\left(x\right)>f\left(x_0\right)f(x)>f(x0) với mọi x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)x∈(x0−h;x0+h) và x\ne x_0x=x0 thì ta nói hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực tiểu tại x_0x0.

Chú ý:

1) Nếu hàm số f\left(x\right)f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_0x0 thì x_0x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f\left(x_0\right)f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_{CĐ}fCĐ (f_{CT}fCT), còn điểm M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm trên \left(a;b\right)(a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x_0x0 thì f'\left(x_0\right)=0f′(x0)=0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) liên tục trên khoảng K=\left(x_0-h;x_0+h\right)K=(x0−h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\backslash\left\{x_0\right\}K\{x0}, với h>0h>0.a) Nếu f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực đại của hàm số f\left(x\right)f(x).
b) Nếu f'\left(x\right)< 0f′(x)<0 trên khoảng \left(x_0-h;x_0\right)(x0−h;x0) và f'\left(x\right)>0f′(x)>0 trên khoảng \left(x_0;x_0+h\right)(x0;x0+h) thì x_0x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f\left(x\right)f(x).

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=-x^2+1y=−x2+1.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=-2xf′(x)=−2x ; f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0f′(x)=0⇔x=0.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Điểm \left(0;1\right)(0;1) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

III. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:
1. Tìm tập xác định.
2 Tính f'\left(x\right)f′(x) . Tìm các điểm tại đó f'\left(x\right)f′(x) bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Luyện tập

Cho hàm số y=-x\left(x^2-3\right)y=−x(x2−3). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hàm số đạt cực đại tại x_1=0x1=0 và đạt cực tiểu tại x_2=\sqrt{3}x2=3.

Phương trình y'=0y′=0 có 2 nghiệm là x_1=0x1=0 và x_2=\sqrt{3}x2=3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x_1=-1x1=−1 và đạt cực đại tại x_2=1x2=1.

Định lý 2: Giả sử hàm số y=f\left(x\right)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \left(x_0-h;x_0+h\right)(x0−h;x0+h), với h>0h>0. Khi đó:
a) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0f′(x0)=0,f′′(x0)>0 thì x_0x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0f′(x0)=0,f′′(x0)<0 thì x_0x0 là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:
1. Tìm tập xác định.
2. Tính f'\left(x\right)f′(x). Giải phương trình f'\left(x\right)=0f′(x)=0 và kí hiệu x_ixi (i=1,2,...,ni=1,2,...,n) là tập các nghiệm của nó.
3. Tính f''\left(x\right)f′′(x) và f''\left(x_i\right)f′′(xi).
4. Dựa vào dấu của f''\left(x_i\right)f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x_ixi.

Luyện tập

Tìm các điểm cực trị của hàm số y=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6y=4x4−2x2+6.

Giải:

Hàm số xác định với mọi x\in\mathbb{R}x∈R.

f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)f′(x)=x3−4x=x(x2−4); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x_1=0\\x_2=-2\\x_3=2\end{aligned}\right.f′(x)=0⇔⎣⎡x1=0x2=−2x3=2

f''\left(x\right)=3x^2-4f′′(x)=3x2−4.

Với x_1=0x1=0 ta có f''\left(0\right)f′′(0) <> 0 \Rightarrow x_0=0⇒x0=0 là điểm cực tiểucực đại.

Với x_2=-2x2=−2 ta có f''\left(-2\right)f′′(−2) <> 0 \Rightarrow x_2=-2⇒x2=−2 là điểm cực tiểucực đại.

Bài 1a/tìm số phức z biết |z|+z=3+4ib/ cho các số phức z1 z2 thỏa mãn z1+3z1z2=(-1+i)z2 và 2z1-z2=3+2i.tìm modun của số phức w=$\frac{z1}{z2}$+z1+z2Bài 2a/giải pt trên tập số phức 2z^4-7z^3+9z^2+2=0b/cho số phức z=1+$i\sqrt{3}$.Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức z , $_{\overline{z}}$ ,-z...

#Toán lớp 12

4

H

HEV_ASmobiIe

14 tháng 10 2021

làm thế này thì chết mất

Đúng(0)

HG

Hoàng Gia Bảo

14 tháng 10 2021

độc kéo xuống thôi cũng lâu nx

Đúng(0)

HN

Hoàng Nhung

5 tháng 5 2016