1= f\left(x\right)f(x) đồng biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)>0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2); f\left(x\right)f(x) nghịch biến trên KK \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K⇔x2−x1f(x2)−f(x1)<0,∀x1,x2∈K (x_1\ne x_2x1=x2).b) Nếu hàm số đồng...
Đọc tiếp
1=
f\left(x\right) f ( x ) K K \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K ⇔ x 2 − x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0 , ∀ x 1 , x 2 ∈ K x_1\ne x_2 x 1 = x 2
f\left(x\right) f ( x ) K K \Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K ⇔ x 2 − x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) < 0 , ∀ x 1 , x 2 ∈ K x_1\ne x_2 x 1 = x 2
b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).
2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Cho hàm số y=-\dfrac{x^2}{2} y = − 2 x 2 y'=-x y ′ = − x
Trên khoảng \left(-\infty;0\right) ( − ∞ ; 0 ) dương âm nghịch biến đồng biến
Trên khoảng \left(0;+\infty\right) ( 0 ; + ∞ ) dương âm nghịch biến đồng biến
Kiểm tra
Định lý : Cho hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) K .
a) Nếu f'\left(x\right)>0 f ′ ( x ) > 0 x x K thì hàm số f\left(x\right) f ( x ) K .
b) Nếu f'\left(x\right)< 0 f ′ ( x ) < 0 x x K thì hàm số nghịch biến trên K .
Xét hàm số y=\sin x y = sin x \left(0;2\pi\right) ( 0 ; 2 π )
Hàm số y=\sin x y = sin x
\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) ( 0 ; 2 π ) \left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right) ( 2 π ; 2 3 π ) \left(\dfrac{3\pi}{2};\pi\right) ( 2 3 π ; π ) \left(0;\dfrac{3\pi}{2}\right) ( 0 ; 2 3 π ) Kiểm tra
Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y=f\left(x\right) y = f ( x ) K . Nếu f'\left(x\right)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 f'\left(x\right)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 \forall x\in K ∀ x ∈ K f'\left(x\right)=0 f ′ ( x ) = 0 K .
Ví dụ: hàm số y=2x^3+6x^2+6x-7 y = 2 x 3 + 6 x 2 + 6 x − 7 y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R} y ′ = 6 x 2 + 12 x + 6 = 6 ( x + 1 ) 2 ≥ 0 , ∀ x ∈ R \mathbb{R} R
II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số Qui tắc :
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo f'\left(x\right) f ′ ( x ) x_1,x_2,...,x_n x 1 , x 2 , ... , x n
3. Sắp xếp các điểm x_1,x_2,...,x_n x 1 , x 2 , ... , x n
4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2 y = 3 1 x 3 − 2 1 x 2 − 2 x + 2
1) Tập xác định: \mathbb{R} R
2) y'=x^2-x-2 y ′ = x 2 − x − 2 y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{aligned}x=-1\\x=2\end{aligned}\right. y ′ = 0 ⇔ [ x = − 1 x = 2
3) Bảng biến thiên
4) Rút ra kết luận:
Hàm số nghịch biến đồng biến \left(-\infty;-1\right) ( − ∞ ; − 1 ) \left(2;+\infty\right) ( 2 ; + ∞ )
Hàm số đồng biến nghịch biến \left(-1;2\right) ( − 1 ; 2 )
