Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gõ link này nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/1078496.html
Ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{4}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)\(\ge4\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)\)
"=" xảy ra <=> a =b =c.
Em nghĩ đề phải là \(\sqrt{c\left(a-c\right)}-\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}< 0\) chứ? Và em cũng không chắc đâu. Em mới biết sơ sơ về BĐT thôi. Nên nếu sai thì thông cảm cho em ạ
Từ đề bài suy ra \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab>ac+bc-c^2\)
Lại có \(ab>c\left(a-c\right)+bc>c\left(a-c\right)\) (do b và c không âm)
Suy ra \(\sqrt{c\left(a-c\right)}< \sqrt{ab}\)(1). Lại có: \(ab>ac+\left(bc-c^2\right)\)
\(=ac+c\left(b-c\right)>c\left(b-c\right)\Rightarrow\sqrt{c\left(b-c\right)}< \sqrt{ab}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(VT< \sqrt{ab}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=-\sqrt{ab}\le0\)
Do vậy VT < 0 ta có đpcm.
Áp dụng BDT Bu-nhi-a-cốp-xki:
\(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)=ab\\ \Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\dfrac{c}{b-c}=\dfrac{a-c}{c}\)
\(\Rightarrow c^2=\left(b-c\right)\left(a-c\right)\\ \Rightarrow c^2=ab-ac-bc+c^2\\ \Rightarrow ab-ac-bc=0\)
a) \(A=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=2a+2b\le2\)
Vậy GTLN của A là 2 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
b) Ta có : \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4=2\left(a^2+b^2+6ab\right)\)
Tương tự : \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(a^2+c^2+6ac\right)\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(a^2+d^2+6ad\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(b^2+c^2+6bc\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(b^2+d^2+6bd\right)\)
\(\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(c^2+d^2+6cd\right)\)
Cộng các vế lại, ta được :
\(B\le6\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bd+2cd+2bc\right)=6\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow B\le6\)
Vậy GTLN của B là 6 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\sqrt{d}\\a+b+c+d=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
\(\sqrt{\frac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(b^2+bc+ba+ac\right)}{c^2+ca+cb+ab}}=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}=a+b\left(a,b,c>0;a+b+c=1\right)\)
Bạn làm tương tự nha
\(\Rightarrow P=a+b+c+a+b+c=2\left(a+b+c\right)=2\)
a) vì ab > 0 nên chia cả hai vế Bất đẳng thức cho \(\sqrt{ab}\) ta được
\(\sqrt{\dfrac{c\left(a-c\right)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le1\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{c}{b}\left(\dfrac{a-c}{a}\right)}+\sqrt{\dfrac{c}{a}\left(\dfrac{b-c}{b}\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{a-c}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b}\right)=1\)
vậy nên ta có đpcm
\(\frac{2005}{\sqrt{2006} }+\frac{2006}{\sqrt{2005} }>\sqrt{2005}+\sqrt{2006} \)
<=>\(2005\sqrt{2005}+2006\sqrt{2006}>2005\sqrt{2006}+2006\sqrt{2005} \)
<=>\(\sqrt{2006}<\sqrt{2005} \)
a) \(BĐT\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}+\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{c}{b}\left(1-\frac{c}{a}\right)}+\sqrt{\frac{c}{a}\left(1-\frac{c}{b}\right)}\le1\)
Áp dụng AM-GM:\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+1-\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+1-\frac{c}{b}\right)=1\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi (a+b).c=ab
b) \(2+b+c+2+b+c\ge2\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+2+b+c=\left(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\right)^2\ge4\left(1+a\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge2a\)
cau a) dung cosi
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}\le\frac{a-c+c}{2}\) ap dung cosi cho hai so c va a-c
tuong tu voi cac so khac
\(BT\le\frac{a-c+c}{2}+\frac{b-c+c}{2}-\frac{a+b}{2}\)(bt la VT cua de)
=> DPCM
b)
dung cosi nhu cau a
lam nhanh luon
\(\sqrt{1+b}\ge\frac{b+1+1}{2}\)
tuong tu
\(BT\ge\frac{b+2}{2}+\frac{c+2}{2}\ge a+2\)
<=> b+c>=2a