AV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 10 2019
ui, đề thi HSG huyện mình nè. cậu huyện nào mà đăng thế
chứng minh BĐT : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)\) với a>0,b>0
\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
áp dụng BĐT trên,ta có:
\(x+y+1\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{xz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}=1\)
Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1
UI
30 tháng 10 2019
Ap dung bdt \(a+b\ge\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}\left(a,b\ge0\right)\)
ta co \(x+y\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)\)
ma \(xyz=1=>\sqrt[3]{xy}=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)
nen \(x+y\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{z}}\)
=> \(x+y+1\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\)
=>\(\frac{1}{x+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)
chung minh tuong tu cung co \(\frac{1}{x+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\) va \(\frac{1}{z+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)
cong 3 bdt cung chieu ta duoc
\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{x+z+1}+\frac{1}{y+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)
dau = xay ra khi x=y=z=1
Chuc ban hoc tot !!!
15 tháng 7 2017
từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3
2 tháng 12 2019
Ta có:\(\frac{4+4\sqrt{1+x^2}}{4x}\le\frac{4+5+x^2}{4x}=\)\(\frac{x^2+9}{4x}\)Tương tự ta đc P\(\le\frac{x+y+z}{4}+\frac{9}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)\)\(\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)}\)\(=x+y+z\)
Dấu '='xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}x+y+z=xyz\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=}\)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
IL
23 tháng 1 2018
t lắm tắt luôn nhé có nhiều câu quá
áp dụng bdt cô si ta có
a) \(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1.xyz}{xyz}}=4\)
vậy Min của T là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
b)
áp dụng BDT cosi ta có
\(x+y+Z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{3}{xyz}+3xyz\ge2\sqrt{\frac{3.3xyz}{xyz}}=6\)
+ vế với vế ta được
\(T+3xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}+6\)
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3xyz\)
có \(xyz\le\frac{\left(x+y+Z\right)^2}{27}\Rightarrow-xyz\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{27}\) cùng dấu > thay vào được
\(T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Có \(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+1\ge2z\) (cosy)
+ vế với vế ta được
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(3\ge\left(x+y+z\right)\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-3\) cùng dấu > ta thay được
\(\Rightarrow T\ge3\sqrt[3]{xyz}+6-3\frac{\left(3\right)^3}{27}\)
\(\Rightarrow T\ge6\) dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) dự đoán của chúa pain x=y=z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
thử thay vào
\(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}\)
số xấu lắm m tự làm đi tương tự câu 1) 2)
23 tháng 1 2018
1) dự đoán của chúa Pain x=y=z=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y+z+\frac{1}{xyz}\ge4\sqrt[4]{\frac{xyz}{xyz}}=4.\)
Vậy Min là 4 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
2 chia cả tử cả mẫu cho \(x^2+y^2+z^2=3\) ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{xyz}\)
thay số ta được
\(\left(x+y+z+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{zx}\right)\)
áp dụng Cô si ta được
\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2x^2}}=6\)
vậy Min là 6 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
3) TƯỢNG TỰ cậu 2
chia xyz cho 2 vế
\(x^2+y^2+z^2=1\)
ta được
\(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}\)
thay số
\(\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta được
\(\left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{y}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}+\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}^2}}\right)+\left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)\ge....\)
tự làm
TT
2
TN
5 tháng 6 2017
\(BDT\Leftrightarrow x+y+z-xyz\le2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\right)^2\le\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)+1\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2+2yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\)
\(=2\left(1+yz\right)\left(2-2yz+y^2z^2\right)\)do \(x^2+y^2+z^2=2\)
\(=4\left(1-y^2z^2\right)+2\left(1+yz\right)y^2z^2\)
\(=4+2y^2z^2\left(yz-1\right)\le4\) do \(yz\le\frac{y^2+z^2}{2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\)
\(\left(x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\right)^2\le4\Rightarrow x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\le2\)
Hay ta có ĐPCM
28 tháng 9 2018
\(xy+yz+zx=xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\) thì
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\P=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{1}{16}\end{cases}}\)
Ta co:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{64}+\frac{1+c}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{16}-\frac{b}{64}-\frac{c}{64}-\frac{1}{32}\)
Từ đây ta co:
\(P\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{16}-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{32}=\frac{1}{16}\)