Question

[hiền trần]

Hãy chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho ( 199k - 1 ) chia hết cho 104

Answer 1

[Khánh Hạ]

Xét dãy số gồm 104 số :  199¹; 199²; 199³; ...; 199¹⁰⁴

Chia các số trong dãy cho 104 . Các số dư có thể là 1;2;3;...;103. (Số dư khác 0 vì các số trong dãy đều lẻ mà 104 là số chẵn )

=> Có ít nhất hai số trong dãy có cùng số dư

Giả sử hai số đó là: 199^m; 199ⁿ (1 <m; n <104 và m > n)

=> 199^m - 199ⁿ chia hết cho 104

=> 199ⁿ.(199^m-n - 1) chia hết cho 104

Mà 199ⁿ không chia hết cho 104 Nên 199^m-n - 1 chia hết cho 104

Đặt k = m - n => 199^k - 1 chia hết cho 104

Vậy ....