Câu hỏi của Tú Uyên

Question

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Akai Haruma · Accepted Answer

Bài 30:

a) Điều kiện $x>1; x-1\neq 1$

$(x-4)^2\log_4(x-1)-2\log_4(x-1)^2=(x-4)^2\log_{x-1}4-2\log_{x-1}16$

$\Leftrightarrow (x-4)^2\log_4(x-1)-4\log_4(x-1)=(x-4)^2\log_{x-1}4-4\log_{x-1}4$

$\Leftrightarrow \log_4(x-1)[(x-4)^2-4]=\log_{x-1}4[(x-4)^2-4]$

$\Leftrightarrow (x-6)(x-2)[\log_4(x-1)-\log_{x-1}4]=0$

$\Leftrightarrow $$\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=2\\\log_{x-1}4=\log_4\left(x-1\right)\left(\cdot\right)\end{matrix}\right.$ (loại th x=2 vì $x-1\neq 1$ )

Xét $(*)$

Ta có: $\log_4(x-1)=\log_{x-1}4\Rightarrow [\log_4(x-1)]^2=\log_4(x-1).\log_{x-1}4=\log_44=1$

$\Rightarrow \log_4(x-1)=\pm 1\Rightarrow x-1=4^{\pm 1}\Rightarrow x=5; x=\frac{5}{4}$

Vậy $x\in \left\{\frac{5}{4};5;6\right\}$

b) Điều kiện: $x>2; x-2\neq 1$

$2\log_3(x-2)^2+(x-5)^2\log_{x-2}3=2\log_{x-2}9+(x-5)^2\log_3(x-2)$

$\Leftrightarrow 4\log_3(x-2)+(x-5)^2\log_{x-2}3=4\log_{x-2}3+(x-5)^2\log_3(x-2)$

$\Leftrightarrow 4[\log_3(x-2)-\log_{x-2}3]-(x-5)^2[\log_3(x-2)-\log_{x-2}3]=0$

$\Leftrightarrow [\log_3(x-2)-\log_{x-2}3](7-x)(x-3)=0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=3\\\log_3\left(x-2\right)=\log_{x-2}3\left(1\right)\end{matrix}\right.$ (loại x=3 vì $x-2\neq 1$)

Xét $(1)\Rightarrow [\log_3(x-2)]^2=\log_3(x-2).\log_{x-2}3=\log_33=1$

$\Leftrightarrow \log_3(x-2)=\pm 1\Rightarrow x-2=3^{\pm 1}\Leftrightarrow x=5; x=\frac{7}{3}$

Vậy $x\in \left\{\frac{7}{3};5;7\right\}$

Câu trả lời:

Bài 30:

a) Điều kiện $x>1; x-1\neq 1$

$(x-4)^2\log_4(x-1)-2\log_4(x-1)^2=(x-4)^2\log_{x-1}4-2\log_{x-1}16$

$\Leftrightarrow (x-4)^2\log_4(x-1)-4\log_4(x-1)=(x-4)^2\log_{x-1}4-4\log_{x-1}4$

$\Leftrightarrow \log_4(x-1)[(x-4)^2-4]=\log_{x-1}4[(x-4)^2-4]$

$\Leftrightarrow (x-6)(x-2)[\log_4(x-1)-\log_{x-1}4]=0$

$\Leftrightarrow $$\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=2\\\log_{x-1}4=\log_4\left(x-1\right)\left(\cdot\right)\end{matrix}\right.$ (loại th x=2 vì $x-1\neq 1$ )

Xét $(*)$

Ta có: $\log_4(x-1)=\log_{x-1}4\Rightarrow [\log_4(x-1)]^2=\log_4(x-1).\log_{x-1}4=\log_44=1$

$\Rightarrow \log_4(x-1)=\pm 1\Rightarrow x-1=4^{\pm 1}\Rightarrow x=5; x=\frac{5}{4}$

Vậy $x\in \left\{\frac{5}{4};5;6\right\}$

b) Điều kiện: $x>2; x-2\neq 1$

$2\log_3(x-2)^2+(x-5)^2\log_{x-2}3=2\log_{x-2}9+(x-5)^2\log_3(x-2)$

$\Leftrightarrow 4\log_3(x-2)+(x-5)^2\log_{x-2}3=4\log_{x-2}3+(x-5)^2\log_3(x-2)$

$\Leftrightarrow 4[\log_3(x-2)-\log_{x-2}3]-(x-5)^2[\log_3(x-2)-\log_{x-2}3]=0$

$\Leftrightarrow [\log_3(x-2)-\log_{x-2}3](7-x)(x-3)=0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=3\\\log_3\left(x-2\right)=\log_{x-2}3\left(1\right)\end{matrix}\right.$ (loại x=3 vì $x-2\neq 1$)

Xét $(1)\Rightarrow [\log_3(x-2)]^2=\log_3(x-2).\log_{x-2}3=\log_33=1$

$\Leftrightarrow \log_3(x-2)=\pm 1\Rightarrow x-2=3^{\pm 1}\Leftrightarrow x=5; x=\frac{7}{3}$

Vậy $x\in \left\{\frac{7}{3};5;7\right\}$

Akai Haruma · Answer

Bài 31:

a) ĐK:.......

$log_2^2x+x\log_7(x+3)=\log_2x\left(\frac{x}{2}+2\log_7(x+3)\right)$

$\Leftrightarrow \log_2x[\log_2x-\frac{x}{2}]+\log_7(x+3)(x-2\log_2x)=0$

$\Leftrightarrow (2\log_2x-x)\left(\frac{\log_2x}{2}-\log_7(x+3)\right)=0$

TH1: $2\log_2x-x=0\Leftrightarrow \log_2x=\frac{x}{2}$

Pt này thực chất phải sử dụng hàm trong toán cao cấp (không học ở thpt ) để giải, còn nghiệm thông thường là $x=2;4$

TH2: $\log_2x=2\log_7(x+3)$

Đặt $\log_2x=2\log_7(x+3)=2t\Rightarrow x=4^t; x+3=7^{t}$

$\Rightarrow 7^t-4^t=3\Leftrightarrow 7^t=4^t+3$

Nếu $t>1\Rightarrow 7^t< 4^t+3^t\Leftrightarrow 1< (\frac{4}{7})^t+(\frac{3}{7})^t$

Vì $\frac{4}{7};\frac{3}{7}<1; t>1 \Rightarrow (\frac{4}{7})^t< \frac{4}{7}; (\frac{3}{7})^t< \frac{3}{7}\Rightarrow (\frac{4}{7})^t+(\frac{3}{7})^t<1 $ (vô lý)

Tương tự với $t<1\Rightarrow t=1\Rightarrow x=4$

Vậy $x\in \left\{2;4\right\}$

b)

Đặt $\log_2x=a\Rightarrow x^2-x(9-a)+8+6a-2a^2=0$

$\Leftrightarrow x^2+x(a-9)+(8+6a-2a^2)=0$

Xét delta của pt bậc 2 ẩn x ta thấy $\Delta=(3a-7)^2\Rightarrow $ $\left[{}\begin{matrix}x=2a-8\left(1\right)\\x=-\left(a+1\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.$

TH (1): $\Leftrightarrow 2^a=2a-8$ (từ đây suy ra $a>4$ )

$\Leftrightarrow 2^a-2a=-8$

Ta thấy $(2^a-2a)\'=\ln 2.2^a-2>\ln 2.2^4-2>0$ nên là hàm đồng biến với mọi $a>4$

$\Rightarrow 2^a-2a> 2^4-2.4>-8$, do đó pt vô nghiệm

TH (2): $x=-(a+1)\Leftrightarrow 2^a+a=-1$

Ta thấy $(2^a+a)\'=\ln 2.2^a+1>0$, do đó hàm đồng biến

-1 là hàm hằng

Do đó pt chỉ có duy nhất một nghiệm $a\approx -1,38\Rightarrow x=0,38$