Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(lim\dfrac{\left(n+2\right)^{50}\left(n-3\right)^{80}}{\left(2n-1\right)^{40}\left(3n-2\right)^{45}}=lim\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{n^{50}}\right)\left(1-\dfrac{3}{n^{35}}\right)\left(n-3\right)^{45}}{\left(2-\dfrac{1}{n^{50}}\right)\left(3-\dfrac{2}{n^{45}}\right)}=+\infty\)
\(lim\dfrac{4^n}{2.3^n+4^n}=lim\dfrac{1}{2.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1}=\dfrac{1}{0+1}=1\)
\(lim\dfrac{3^n-2.5^n}{7+3.5^n}=lim\dfrac{\left(\dfrac{3}{5}\right)^n-2}{\dfrac{7}{5^n}+3}=\dfrac{0-2}{0+3}=\dfrac{-2}{3}\)
\(lim\dfrac{4^n-5^n}{2^{2n}+3.5^{2n}}=lim\dfrac{\left(\dfrac{4}{25}\right)^n-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2n}+3}=\dfrac{0-0}{0+3}=0\)
\(lim\dfrac{\left(-3\right)^n+5^n}{2.\left(-4\right)^n+5^n}=lim\dfrac{\left(\dfrac{-3}{5}\right)^n+1}{2.\left(-\dfrac{4}{5}\right)^n+1}=\dfrac{0+1}{0+1}=1\)
1.
Nhớ rằng \(\lim _{x\to \infty}\frac{1}{x}=0\) và \(\lim _{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\) với \(g(x)\neq 0; \lim_{x\to a}g(x)\neq 0\)
Do đó:
\(\lim_{n\to \infty}\frac{(n+2)^{50}.(n-3)^{80}}{(2n-1)^{40}.(3n-2)^{45}}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{130}(\frac{n+2}{n})^{50}.(\frac{n-3}{n})^{80}}{n^{85}(\frac{2n-1}{n})^{40}.(\frac{3n-2}{n})^{45}}\)
\(=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{45}(1+\frac{2}{n})^{50}(1-\frac{3}{n})^{80}}{(2-\frac{1}{n})^{40}.(3-\frac{2}{n})^{45}}\)
\(=\frac{\lim_{n\to \infty}[n^{45}(1+\frac{2}{n})^{50}(1-\frac{3}{n})^{80}]}{\lim_{n\to \infty}[(2-\frac{1}{n})^{40}.(3-\frac{2}{n})^{45}]}\)
\(=\frac{\lim_{n\to \infty}n^{45}.1^{50}.1^{80}}{2^{40}.3^{45}}=\frac{\infty}{2^{40}.3^{45}}=\infty\)
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =
Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = + 3k + 2
=
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng
, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh .
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
= (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 =
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1).
= (k + 1)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
a/ \(=lim\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n+1}{-2.\left(-\frac{2}{3}\right)^n+3}=\frac{1}{3}\)
b/ \(=lim\frac{\left(2-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(3+\frac{4}{n}\right)}{\left(\frac{5}{n}-6\right)^3}=\frac{2.1.3}{\left(-6\right)^3}=-\frac{1}{36}\)
c/ \(=lim\frac{5n+3}{\sqrt{n^2+5n+1}+\sqrt{n^2-2}}=\frac{5+\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{2}{n}}}=\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}\)
d/ \(=lim\frac{5.\left(\frac{1}{2}\right)^n-6}{4.\left(\frac{1}{3}\right)^n+1}=\frac{-6}{1}=-6\)
e/ \(=-n^3\left(2+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{2020}{n^3}\right)=-\infty.2=-\infty\)
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
b) Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Với n = 1.
VT = 3; VP \(=\dfrac{1}{2}\left(3^2-3\right)=3\).
Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử \(S_k=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)\).
Ta cần chứng minh: \(S_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1+1}-3\right)=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+3^{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)+3^{k+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3+2.3^{k+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(3.3^{k+1}-3\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Vậy \(S_n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\).
b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
a/ \(=lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\infty}=0\)
b/ \(=lim\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+5n+1}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{6+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=\frac{6}{1+1}=3\)
c/ \(=lim\frac{6n-9}{\sqrt{3n^2+2n-1}+\sqrt{3n^2-4n+8}}=lim\frac{6-\frac{9}{n}}{\sqrt{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{3-\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2}}}=\frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
d/ \(=lim\frac{\left(\frac{2}{6}\right)^n+1-4\left(\frac{4}{6}\right)^n}{\left(\frac{3}{6}\right)^n+6}=\frac{1}{6}\)
e/ \(=lim\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^n-\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n-1}=\frac{1}{-1}=-1\)
f/ Ta có công thức:
\(1+3+...+\left(2n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow lim\frac{1+3+...+2n+1}{3n^2+4}=lim\frac{\left(n+1\right)^2}{3n^2+4}=lim\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{3+\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{3}\)
g/ \(=lim\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=lim\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1\)
h/ Ta có: \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
\(\Rightarrow lim\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=lim\frac{2n+1}{6n+12}=lim\frac{2+\frac{1}{n}}{6+\frac{12}{n}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
a) Xét hiệu un+1 - un = - 2 - (
- 2) =
-
.
Vì <
nên un+1 - un =
-
< 0 với mọi n ε N* .
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu un+1 - un =
=
Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.
Ta có
với mọi n ε N*
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm
\(a=\lim\left(\dfrac{2n^3\left(5n+1\right)+\left(2n^2+3\right)\left(1-5n^2\right)}{\left(2n^2+3\right)\left(5n+1\right)}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{2n^3-13n^2+3}{\left(2n^2+3\right)\left(5n+1\right)}\right)=\lim\dfrac{2-\dfrac{13}{n}+\dfrac{3}{n^3}}{\left(2+\dfrac{3}{n^2}\right)\left(5+\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{2}{2.5}=\dfrac{1}{5}\)
\(b=\lim\left(\dfrac{n-2}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+2}}\right)=\lim\dfrac{1-\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\dfrac{1}{2}\)
\(c=\lim\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{3}{n^3}-\dfrac{2}{n^4}}}{2-\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}}=\dfrac{1}{2}\)
\(d=\lim\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{4}{n}}-\sqrt{4+\dfrac{1}{n^2}}}{\sqrt{3+\dfrac{1}{n^2}}-1}=\dfrac{1-2}{\sqrt{3}-1}=-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}+\dfrac{3\left(n+1\right)!}{n!}=3n\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)n+3\left(n+1\right)=3n\)
\(\Leftrightarrow n^2-n+3n+3=3n\)
\(\Leftrightarrow n^2-n+3=0\)
\(\Rightarrow\)pt vô nghiệm