K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 8 2021
Đặt \(A=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2,B=n,C=a_1+a_2+...+a_n\)
Ta cần chứng minh \(AB\ge C^2\).
Dễ thấy nếu \(A=0\)hoặc \(B=0\)thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Xét với \(A,B\ne0\):
Với mọi \(x\)ta có:
\(\left(a_1x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_1^2x^2-2a_1x+1\ge0\)
\(\left(a_2x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_2^2x^2-2a_2x+1\ge0\)
...
\(\left(a_nx-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_n^2x^2-2a_nx+1\ge0\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên lại ta có:
\(\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)x^2-2x\left(a_1+a_2+...+a_n\right)+n\ge0\)
thay \(x=\frac{C}{A}\)vào ta được:
\(A.\frac{C^2}{A^2}-2C.\frac{C}{A}+B\ge0\Leftrightarrow AB\ge C^2\)
Dấu \(=\)khi \(a_1=a_2=...=a_n\).