Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} (xy+1)(2y-x)=2x^3y^2\\ x^2y^2+1=2y^2\end{matrix}\right.\Rightarrow (xy+2y^2-x^2y^2)(2y-x)=2x^3y^2\)
\(\Leftrightarrow y[(x+2y-x^2y)(2y-x)-2x^3y]=0\)
Hiển nhiên \(y\neq 0\) , do đó \((x+2y-x^2y)(2y-x)=2x^3y\)
\(\Leftrightarrow -x^2+4y^2-2x^2y^2+x^3y=2x^3y\)
\(\Leftrightarrow -x^2+4y^2=x^3y+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow (2y+x)(2y-x-x^2y)=0\)
TH1: \(2y+x=0\rightarrow x=-2y\)
Thay vào PT $(2)$ suy ra \(4y^4+1=2y^2\leftrightarrow 3y^4+(y^2-1)^2=0\) (vô nghiệm)
TH2: \(2y-x=x^2y\) thay vào PT $(1)$ suy ra
\((xy+1)x^2y=2x^3y^2\leftrightarrow x^2y(xy+1-2xy)=x^2y(1-xy)=0\)
Vì \(y\neq 0\rightarrow \) \(x=0\) hoặc \(xy=1\)
\(\bullet\) \(x=0\rightarrow \text{PT(1)}\rightarrow y=0 \) (vl)
\(xy=1\)\(\Rightarrow \text{PT(2)}\rightarrow y=\pm 1\rightarrow x=\pm 1\) (thử lại thấy đúng)
Vậy \((x,y)=(-1,-1),(1,1)\)
Lời giải:
Ta đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương.
TH1: \(x,y\in\mathbb{Z}^+\)
PT tương đương: \((x-y)(4xy-2)=(xy)^3-1\geq 0\Rightarrow x\geq y\)
Nếu $x=y$ thì hiển nhiên có $xy=1\Rightarrow x=y=1$.
Xét $x>y$ có \(4xy(x-y)-2(x-y)+1=(xy)^3\vdots xy\Rightarrow 2(x-y)-1\vdots xy\)$(1)$
Vì $2(x-y)-1\neq0$ nên suy ra để có $(1)$ thì \(2(x-y)-1\geq xy\Leftrightarrow (y-2)(x+2)\leq -5<0\)
\(\Rightarrow y-2<0\rightarrow y=1\). Thay vào PT ban đầu thu được $x=y=1$ (loại vì đang xét $x>y$)
TH2: $x,y$ đều âm. Ta thay $x=-a,y=-b$ với $a,b$ nguyên dương.
Phương trình trở thành $2a(2b^2+1)-2b(2a^2+1)+1=(ab)^3$
Đây là dạng PT tương tự TH1, ta cũng thu được $a=b=1$, tức là $x=y=-1$
TH3: $x>0,y<0$. Đặt $x=a,y=-b$ ($a,b$ nguyên dương)
PT tương đương: $2b(2a^2+1)+2a(2b^2+1)-1=(ab)^3$
\(\Rightarrow 2(a+b)-1\vdots ab\). Vì $2(a+b)-1\neq 0$ nên \(2(a+b)-1\geq ab\Rightarrow (a-2)(b-2)\leq 3\)
Với $a,b\geq 1$ dễ dàng suy ra không có bộ nghiệm nào thỏa mãn
TH4: $x<0,y>0$. Đặt $x=-a,y=b$ ($a,b$ nguyên dương)
PT tương đương $2a(2b^2+1)+2b(2a^2+1)+1+(ab)^3=0$ (vô lý)
Vậy $(x,y)=(1;1)$ hoặc $(x,y)=(-1;-1)$
x2 + y2 + 2x + 2y = 11 <=> (x2 + 2x) + (y2 + 2y) = 11 <=> x(x + 2) + y(y +2) = 11
xy(x+2)(y+2) = m <=> [x(x+2)].[y(y+2)] = m
đặt a = x(x+2); b = y(y +2)
Khi đó ta có hệ phương trình: a + b = 11; ab = m
Theo hệ thức Vi ét đảo => a; b là ngiệm của phương trình t2 - 11t + m = 0 (*)
a) khi m = 24 .
(*) <=> t2 - 11t + 24 = 0 <=> t2 - 3t - 8t + 24 = 0 <=> (t - 3).(t - 8) = 0 <=> t = 3 hoặc t = 8
=> a = 8 ; b = 3 hoặc a = 3; b = 8
+) a =8 => x(x+2) = 8 => x2 + 2x - 8 = 0 => (x+1)2 = 9 <=> x + 1 = 3 hoặc x+ 1 = -3 <=> x = 2 hoặc x = -4
b = 3 => y(y +2) = 3 <=> y2 + 2y - 3 = 0 <=> (y +1)2 = 4 => y + 1 = 2 hoặc y + 1 = -2 => y = 1 hoặc y = -3
tương tự, a = 3; b = 8
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2;1)(2;-3)(-4;1); (-4;-3) ; (1;2); (-3;2); (1;-4); (3;-4)
b) Vì a = x(x+2) => x2 + 2x = a <=> (x+1)2 = a+ 1; b = y(y + 2) => (y +1)2 = b + 1
=> a+ 1 \(\ge\) 0 và b+ 1 \(\ge\) 0 <=> a ; b \(\ge\) -1
Để hệ có nghiệm <=> (*) có 2 nghiệm t1; t2 \(\ge\) -1
<=> \(\Delta\) \(\ge\) 0 ; t1 \(\ge\) -1; t2 \(\ge\) -1
+) \(\Delta\) \(\ge\) 0 <=> 121 - 4m \(\ge\) 0 <=> 30,25 \(\ge\) m
+) t1 \(\ge\) -1; t2 \(\ge\) -1 <=> t1 +1 \(\ge\) 0 ; t2 + 1 \(\ge\) 0
<=> (t1 + 1) + (t2 + 1) \(\ge\) 0 và (t1 + 1)(t2 + 1) \(\ge\) 0
Theo hệ thức Vi ét ta có : t1 + t2 = 11/2 = 5,5; t1.t2 = m
Suy ra (t1 + 1) + (t2 + 1) =7,5 \(\ge\) 0 (đúng) và (t1 + 1)(t2 + 1) = t1.t2 + (t1 + t2) + 1 = m + 5,5 + 1 = m + 6,5 \(\ge\) 0 => m \(\ge\) - 6 ,5
Vậy để hệ có nghiệm <=> -6,5 \(\le\) m \(\le\) 30,25
\(\hept{\begin{cases}x^2-2y^2=2x+y\left(1\right)\\y^2-2x^2=2y+x\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)-\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3y^2=x-y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x+3y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\3x+3y-1=0\end{cases}}\)
TH1: x=y => x2 - 2x2 =2x+x => -x2 - 3x=0
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-3\end{cases}}\)
Th2: (làm tương tự TH1)