Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
5,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+y\right)\left(x+2\right)=0\\2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2\end{matrix}\right.\)
Thay từng TH rồi làm nha bạn
3,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)=0\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)
thay nhá
Bài 1:ĐKXĐ: \(2x\ge y;4\ge5x;2x-y+9\ge0\)\(\Rightarrow2x\ge y;x\le\frac{4}{5}\Rightarrow y\le\frac{8}{5}\)
PT(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(2x-y+3\right)=0\)
+) Với y = x - 1 thay vào pt (2):
\(\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}\) (ĐK: \(-1\le x\le\frac{4}{5}\))
Anh quy đồng lên đê, chắc cần vài con trâu đó:))
+) Với y = 2x + 3...
ĐKXĐ:...
Biến đổi pt đầu:
\(2y\left(y-2x\right)+2\left(y-2x\right)+y-1=3\sqrt{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(y+1\right)\left(y-2x\right)+y-1=3\sqrt{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-1}=a\\\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}=b\end{matrix}\right.\) ta được:
\(a^2+2b^2=3ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-2b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\left(1\right)\\\sqrt{y-1}=2\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Bình phương 2 vế phương trình dưới:
\(\Leftrightarrow y+1+y-2x+2\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}=2y-2x+2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}=1\) (3)
TH1: thế (1) vào (3) ta được:
\(2\sqrt{y-1}=1\Rightarrow y-1=\frac{1}{4}\Rightarrow y=\frac{5}{4}\Rightarrow x=\frac{41}{72}\)
TH2: thế (2) vào (3) ta được:
\(\sqrt{y-1}=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x=\frac{23}{24}\)
b)\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\right)^2=\left(3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)}=x^2+7xy+y^2\)
\(\Rightarrow\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)=\left(x^2+7xy+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}\)
Câu 1.
Điều kiện: \(x^2\ge2y+1\)
Từ $(1)$ ta được \(\left(x^2-2y\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2y\left(L\right)\\x=y\end{matrix}\right.\)
Khi đó $(2)$ \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)=0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} + \dfrac{{{x^3} - 14 - {{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right) + {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \dfrac{{6{x^2} - 12x - 6}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} \left[ {1 + \dfrac{{3\sqrt {{x^2} - 2x - 1} }}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 1} = 0 \end{array} \)
Từ đó ta được \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=$\(\left\{\left(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right),\left(1-\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)\right\}\)
Câu 2.
Điều kiện: \(y \ge 0,x \ge -2\)
Từ phương trình $(1)$ tương đương:
$$2\sqrt{x+y^2+y+3}=3\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$$
Ta có:
$$3\sqrt y + \sqrt {x + 2} = \sqrt 3 .\sqrt {3y} + 1.\sqrt {x + 2} \le 2\sqrt {3y + x + 2}$$
Ta chứng minh:
$$2\sqrt {3y + x + 2} \le 2\sqrt {x + {y^2} + y + 3} \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$$
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$ và \(\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\Rightarrow x=-1\)
Thay vào phương trình $(2)$ thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm hệ phương trình $(x;y)=(-1;1)$
Lời giải:
PT $(1)$:
\(\Leftrightarrow (x^2+4x+4)-y^2=2(\sqrt{y}-\sqrt{x+2})\)
\(\Leftrightarrow (x+2)^2-y^2=2(\sqrt{y}-\sqrt{x+2})(*)\)
Nếu $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}=0\Rightarrow y=x+2=0$
$\Rightarrow y=0; x=-2$. Thay vào PT $(2)$ thấy không thỏa mãn (loại)
Nếu $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}>0$:
$(*)\Leftrightarrow (x+2-y)(x+2+y)=2.\frac{y-(x+2)}{\sqrt{y}+\sqrt{x+2}}$
$\Leftrightarrow (x+2-y)\left[x+2+y+\frac{2}{\sqrt{y}+\sqrt{x+2}}\right]=0$
Dễ thấy với mọi $\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$ thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn lớn hơn $0$
Do đó $x+2-y=0\Rightarrow x+2=y$
Thay vào PT $(2)$:
$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8\)
\(\Leftrightarrow 4(\sqrt{x+2}-2)+(\sqrt{22-3x}-4)=x^2-4\)
\(\Leftrightarrow 4.\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{3(x-2)}{\sqrt{22-3x}+4}=(x-2)(x+2)\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{3}{\sqrt{22-3x}+4}-(x+2)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{4}{3}-(\frac{3}{\sqrt{22-3x}+4}-\frac{1}{3})-(x+1)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{-4(x+1)}{3\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{x+2}+1)}-\frac{3(x+1)}{3(\sqrt{22-3x}+4)(5+\sqrt{22-3x})}-(x+1)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(x+1)\left[\frac{-4}{.....}-\frac{3}{.....}-1\right]=0\)
Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm nên $(x-2)(x+1)=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-1$
Với $x=2\rightarrow y=x+2=4$
Với $x=-1\rightarrow y=x+2=1$
Akai Haruma giúp em