Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện để phương trình (1) trên có nghĩa là:
\(\begin{cases}x\ge y+1\\y-1\ge\\x,y\in Z\end{cases}0}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}y\ge1\\x\ge\\x,y\in Z\end{cases}y+1}\)(2)
Từ phương trình (1) ta có
\(\frac{C_x^{y+1}}{C_x^{y-1}}\) = \(\frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x!\left(y-1\right)!\left(x-y+1\right)!}{\left(y+1\right)!\left(x-y-1\right)!x!}\) = \(\frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x-y\right)\left(x-y+1\right)}{y\left(y+1\right)}\) = \(\frac{5}{2}\) (3)
Vẫn từ (1) ta có
\(\frac{C_{x+1}^y}{C_x^{y+1}}\) = \(\frac{6}{5}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x+1\right)!\left(y+1\right)!\left(x-y+1\right)!}{y!\left(x+1-y\right)!x!}\) = \(\frac{6}{5}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{\left(x-y\right)\left(x-y+1\right)}\) = \(\frac{6}{5}\) (4)
Nhân từng vế (3), (4) ta có
\(\frac{x+1}{y}\) = 3 \(\Leftrightarrow\) x+1 = 3y (5)
Thay (5) vào (4) đi đến
\(\frac{3y\left(y+1\right)}{\left(2y-1\right)2y}\) = \(\frac{6}{5}\) \(\Leftrightarrow\) 15(y+1) = 12(2y-1)
\(\Leftrightarrow\) 9y = 27 \(\Leftrightarrow\) y=3 (6)
Từ (5), (6) có x=8
Vậy x=8, y=3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
Phạm Dương Ngọc Nhi thế thì bạn học pp này đi. Cái pp này giúp cm nhiều bài một cách dễ dàng
lim\(\frac{3n^2+n-5}{2n^2+1}\)=lim\(\frac{n^2\left(3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n}\right)}\)=\(\frac{3}{2}\)
lim\(\frac{\sqrt{9n^2-n}+1}{4n-2}\)=lim\(\frac{n\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{n\left(4-\frac{2}{n}\right)}\)=lim\(\frac{\sqrt{9}}{4}\)=\(\frac{3}{2}\)
Mặt nước trong hồ tựa như chiếc gương bầu dục phản chiếu ánh sáng trên quê hương tôi.
HOK TỐT NHA BN YÊU!
Ta có : Cy(x+1) : Cy+1(x) = 6:5
<=> 5(x-1)(y+1) = 6(x-y)(x-y+1) (1)
Lại có : Cy(x+1) : Cy-1(x) = 6:2
<=> x+1=3y (2)
Thay (2) vào (1) => 9y^2-27y=0
<=> y=3 hoặc y=0(loại)
=> x=8
Bài 1. Ta có:
\(\begin{array}{l} S = \sum\limits_{k = 1}^n {{x^{2k}}} + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{1}{{{x^{2k}}}} + 2n} \\ = {x^2}\dfrac{{1 - {x^{2n}}}}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}.\dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{x^{2n}}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}}} + 2n\\ = \dfrac{{\left( {1 - {x^{2n}}} \right)\left( {{x^{2n + 2}} - 1} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right){x^{2n}}}} + 2n \end{array}\)
Bài 2.
Ta có:
\(\begin{array}{l} T = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\left( 1 \right)\\ \dfrac{1}{2}T = \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{3}{{{2^3}}} + \dfrac{5}{{{2^4}}} + ... + \dfrac{{2n - 3}}{{{2^n}}} + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\left( 2 \right) \end{array}\)
\((1)-(2)\)\(\Rightarrow \dfrac{1}{2}T = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{{{2^2}}} + \dfrac{2}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{2}{{{2^n}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = 2\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right]\\ = 1 + \dfrac{{{2^{n - 1}} - 1}}{{{2^{n - 2}}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} \end{array}\)
\(S=x^2+\frac{1}{x^2}+2+x^4+\frac{1}{x^4}+2+...+x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}+2\)
\(=\left(x^2+x^4+...+x^{2n}\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^{2n}}\right)+2n\)
\(=x^2.\frac{\left(x^2\right)^{n-1}-1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2}.\frac{\left(\frac{1}{x^2}\right)^{n-1}-1}{\frac{1}{x^2}-1}+2n\)
\(=\frac{x^{2n}-x^2}{x^2-1}+\frac{x^{2-2n}-1}{1-x^2}+2n\)
\(T=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+...+\frac{2n-3}{2^{n-1}}+\frac{2n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow2T=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+...+\frac{2n-1}{2^{n-1}}\)
\(\Rightarrow T=1+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+...+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}\)
\(T=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{2n-1}{2^n}\)
\(T=1+1.\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}-1}{\frac{1}{2}-1}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n-1}}\)
Ta có
(1) \(\Leftrightarrow\) 1 + \(C_x^2\) + \(C_x^4\) + ... + \(C_x^{2n}\) \(\ge\) 22003 (2)
Theo công thức khai triển nhị thức newton, ta có
(1+t)2x = \(C_{2x}^0\) + \(C_{2x}^1\)t + \(C_{2x}^2\)t2 + ... + \(C_{2x}^{2x}\)t2x
(1 - t)2x = \(C_{2x}^0\) - \(C_{2x}^1\)t + \(C_{2x}^2\)t2 + .... + (-1)2x\(C_{2x}^{2x}\)t2x
Từ đó ta có
(1 + x)2x + (1 - t)2x = 2(1 + \(C_{2x}^2\)t2 + \(C_{2x}^4\)t4 + ... + \(C_{2x}^{2x}\)t2x)
Thay t = 1, có
1 + \(C_{2x}^2\) + \(C_{2x}^4\) + ... + \(C_{2x}^{2x}\) = 22x-1
Do đó
(2) \(\Leftrightarrow\) 22x-1 \(\ge\) 22003
\(\Leftrightarrow\) 2x - 1 \(\ge\) 2003
\(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) 1002
Vậy với mọi số nguyên x \(\ge\) 1002 là nghiệm của (1)
(1) 1 + + + ... + 2 (2) Theo công thức khai triển nhị thức newton, ta có (1+t) = + t + t + ... + t (1 - t) = - t + t + .... + (-1) t Từ đó ta có (1 + x) + (1 - t) = 2(1 + t + t + ... + t ) Thay t = 1, có 1 + + + ... + = 2 Do đó (2) 2 2 2x - 1 2003 x 1002 Vậy với mọi số nguyên x 1002 là nghiệm của (1)