Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TA CÓ:
\(P=\frac{4x}{4\sqrt{y+z-4}}+\frac{4y}{4\sqrt{z+x-4}}+\frac{4z}{4\sqrt{x+z-4}}\)
ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC:
a2+4\(\ge\)4a
\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{y+z-4+4}+\frac{4y}{z+x-4+4}+\frac{4z}{4+z+x-4}=4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge6\)
DẤU BẰNG XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI x=y=z=4
NẾU AI CHƯA HIỂU ĐOẠN
\(4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge6\)
THÌ LÀM THẾ NÀY NHÉ:
TA CÓ:
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{y^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge\frac{4.3}{2}=6\)
\(A=\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}{z}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(x+\sqrt{yz}\right)^2\)
Tương tự \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\ge\left(y+\sqrt{xz}\right)^2\)
\(\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+\sqrt{xz}\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\)
hay \(A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Đặt \(M=\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Ta có \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a^2,b^2,c^2\right)\)
Khi đó \(M=\frac{a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM ta có
\(a^5b^3+a^3b^5\ge2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)
\(b^5c^3+b^3c^5\ge2\sqrt{b^8c^8}=2b^4c^4\)
\(a^5c^3+a^3c^5\ge2\sqrt{a^8c^8}=2a^4c^4\)
Cộng từng vế ta được
\(a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)\ge2\left(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\right)\)
\(\ge2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2019}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2019}}{3}\)
áp dụng bdt cauchy -schửat dạng engel ta có
\(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}=\frac{1}{2}\)
(do \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) bn tự cm nhé)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=3\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1 => x=y=z=1
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
ta có: \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\left(2+1\right)\left(\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\).....bla bla
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)1}\le yz\frac{\left(x-1\right)+1}{2}=\frac{xyz}{2}\);
\(zx\sqrt{y-4}=\frac{zx}{2}\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{zx}{2}\frac{\left(y-4\right)+4}{2}=\frac{xyz}{4}\);
\(xy\sqrt{z-9}=\frac{xy}{3}\sqrt{\left(z-9\right)9}\le\frac{xy}{3}\frac{\left(z-9\right)+9}{2}=\frac{xyz}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\le\frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{11}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2;y=8;z=18\)