Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)=4\); mà \(4=2.2\)
Có ngay ĐK : \(\left(\sqrt{x}+1\right)\)và \(\left(\sqrt{y}+1\right)\)bằng 2.
\(x=1,y=1\)với TH \(\sqrt{1}=1\)
\(S=\frac{x^4}{y}+\frac{y^4}{x}\). Như phía trên :
\(x=1,y=1\)\(\Rightarrow S=\frac{1^4}{1}+\frac{1^4}{1}\Rightarrow S=1+1=2\)
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
TA CÓ:
\(Q=\frac{x\left(\sqrt{x+zy}-x\right)}{x+yz-x^2}+\frac{y\left(\sqrt{y+zx}-y\right)}{y+zx-y^2}+\frac{z\left(\sqrt{xy+z}-z\right)}{z+xy-z^2}\)
\(=\frac{x\left(\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}-x\right)}{x\left(x+y+z\right)+yz-x^2}+\frac{y\left(\sqrt{y\left(x+y+z\right)+zx}-y\right)}{y\left(x+y+z\right)-y^2+zx}+\frac{z\left(\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}-z\right)}{z\left(x+y+z\right)+xy-z^2}\)
\(=\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}+\frac{y\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}-y\right)}{xy+yz+zx}+\frac{z\left(\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}-z\right)}{xy+yz+za}\)
ÁP DỤNG BĐT CÔ-SI TA ĐƯỢC:
\(Q\le\frac{x\left(\frac{x+y+z+x}{2}-x\right)}{xy+zx+yz}+\frac{y\left(\frac{x+y+z+y}{2}-y\right)}{xy+yz+zx}+\frac{z\left(\frac{x+y+z+z}{2}-z\right)}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{xy+zx}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{xy+yz}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{yz+zx}{2\left(xy+yz+zx\right)}=1\)
DẤU BẰNG XẢY RA \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ta có : \(M=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\)
Mặt khác, theo bđt Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{1+y^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2+x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Do đó : \(M\ge\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=8\\\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)(vì x,y >0)
Vậy \(MinM=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow x=y=2\)
Từ \(x+y=1\)\(\Rightarrow\)
\(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)(1)
Có thể viết lại \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(2S\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\)\(\Rightarrow S\ge\sqrt{2}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)