Thực ra mình lập câu hỏi này để giải một bài toán mình từng hỏi cho mọi người tham khảo, thì có một bạn nhờ mình giải.Link : http://olm.vn/hoi-dap/question/715065.htmlThấy Online Math chọn thì không nỡ bỏ quên :vĐề : Chia số \(2013^{2016}\) thành tổng các số tự nhiên.Tìm số dư của tổng lập phương các số tự nhiên đó cho 6.Bài này chủ yếu là đánh lừa các bạn, vì không rõ ràng ở phần "...
Đọc tiếp
Thực ra mình lập câu hỏi này để giải một bài toán mình từng hỏi cho mọi người tham khảo, thì có một bạn nhờ mình giải.
Link : http://olm.vn/hoi-dap/question/715065.html
Thấy Online Math chọn thì không nỡ bỏ quên :v
Đề : Chia số \(2013^{2016}\) thành tổng các số tự nhiên.
Tìm số dư của tổng lập phương các số tự nhiên đó cho 6.
Bài này chủ yếu là đánh lừa các bạn, vì không rõ ràng ở phần " tổng các số tự nhiên", chúng ta chẳng biết tổng của các số nào cả, có rất nhiều cách chia như vậy. Với những bài có dạng như này, mẹo là các bạn đưa về dạng tổng quá, sẽ dễ dàng chứng minh được.
Cách giải :
Đặt \(2013^{2016}=a_1+a_2+...+a_n\)
Tổng lập phương các số tự nhiên này là :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\)
Có :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\)
\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+...+a_n\left(a_n^2-1\right)\)
\(=\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+...+\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\)
Thấy \(\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right);\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right);...;\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên dễ dàng chứng minh nó chia hết cho 6.
Do đó \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\) chia hết cho 6, tức \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\) có cùng số dư với \(2013^{2016}\left(=a_1+a_2+...+a_n\right)\) khi chia cho 6.
Các bạn tự tìm số dư, vì phần còn lại khá đơn giản :)
- Số các số chia hết cho 8 trong dãy trên là: \(\dfrac{2016-8}{8}+1=252\) số.
- Số các số chia 8 dư 1 trong dãy trên là: \(\dfrac{2009-1}{8}+1=252\) số.
Tương tự với các trường hợp số dư khác.
- Chia các số trong dãy thành 3 nhóm:
+ Nhóm 1: Gồm các số chia hết cho 8.
\(\Rightarrow\)Có 252 số trong nhóm 1.
+ Nhóm 2: Gồm các số chia 8 dư 1,2,3.
\(\Rightarrow\)Có \(252.3=756\) số trong nhóm 2.
+ Nhóm 3: Gồm các số chia 8 dư 4.
\(\Rightarrow\)Có 252 số trong nhóm 1.
+ Nhóm 4: Gồm các số chia 8 dư 5,6,7.
\(\Rightarrow\)Có \(252.3=756\) số trong nhóm 4.
- Để thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chỉ lấy 1 số trong nhóm 1 và 3 ; còn đối với nhóm 3 và 4, ta chỉ có thể lấy hết số trong 1 nhóm, chứ không thể lấy thêm số trong nhóm kia.
\(\Rightarrow\)Ta có thể lấy nhiều nhất \(1+1+756=758\) số (hay quân bài) để thỏa mãn yêu cầu đề bài.