Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét các trường hợp p nguyên tố:
* Xét p = 2 thì p2 + 8 = 22 + 8 = 12 (không là số nguyên tố, loại)
* Xét p = 3 thì p2 + 8 = 32 + 8 = 17 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó p2 + 2 = 32 + 2 = 11 (là số nguyên tố, đpcm)
* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)
+) Nếu p = 3k + 1 thì p2 + 8 = (3k + 1)2 + 8 = 9k2 + 6k + 9 = 3 (3k2 + 2k + 3)\(⋮\)3 mà 3 (3k2 +2k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
+) Nếu p = 3k + 2 thì p2 + 8 = (3k + 2)2 + 8 = 9k2 + 12k + 12 = 3 (3k2 + 6k + 4)\(⋮\)3 mà 3 (3k2 + 6k + 4) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
Vậy nếu p và p2 + 8 là các số nguyên tố thì p2 + 2 là số nguyên tố (đpcm)
b) Xét các trường hợp p nguyên tố:
* Xét p = 2 thì 8p2 + 1 = 8.22 + 1 = 33 (không là số nguyên tố, loại)
* Xét p = 3 thì 8p2 + 1 = 8.32 + 1 = 73 (là số nguyên tố, thỏa mãn). Khi đó 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7 (là số nguyên tố, đpcm)
* Xét p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k > 0)
+) Nếu p = 3k + 1 thì 8p2 + 1 = 8(3k + 1)2 + 1 = 8(9k2 + 6k + 1) + 1 = 3(24k2 + 16k + 3)\(⋮\)3 mà 3(24k2 + 16k + 3) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
+) Nếu p = 3k + 2 thì 8p2 + 1 = 8(3k + 2)2 + 1 = 8(9k2 + 12k + 4) + 1 = 3(24k2 + 32k + 11)\(⋮\)3 mà 3(24k2 + 32k + 11) > 3 nên không là số nguyên tố (loại trường hợp này)
Vậy nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 là số nguyên tố (đpcm)
b, Gọi ƯCLN (6n+1;5n+1) = d ( d thuộc N sao )
=> 6n+1 và 5n+1 đều chia hết cho d
=> 5.(6n+1) và 6.(5n+1) đều chia hết cho d
=> 30n+5 và 30n+6 chia hết cho d
=> 30n+6 - (30n+5) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1 ( vì d thuộc N sao )
=> ƯCLN (6n+1;5n+1) = 1
=> ĐPCM
Tk mk nha
neu m, n la cac so tu nhien thoa man 4m\(^2\)+m = 5n\(^2\)+n thi m-n va 5m +5n +1 la so chinh phuong
\(A=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\right]+\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)^2\) là một số chính phương (đpcm)
P= (x+3)/(x-3)
=> P= (x-3+6)/(x-3)
=> P= (x-3)/(x-3) + 6/(x-3)
=> P= 1 + 6/(x-3)
Ta có x-3>0 vì mọi số nguyên tố đều > 1.
=> 6/(x-3) thuộc N*.
=> x thuộc {4;5;6;9}
Thử các trường hợp ta có đáp số x thuộc {4;6;9} để P nguyên tố.
Ta có: \(P=\frac{x+3}{x-3}=\frac{x-3+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}\)
\(\Rightarrow6⋮\left(x-3\right)\Rightarrow x-3\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)
Ta có bảng:
| x-3 | -1 | 1 | 2 | -2 | 3 | -3 | 6 | -6 |
| x | 2 | 4 | 5 | 1 | 6 | 0 | 9 | -3 |
\(x\in Z\Rightarrow x=\left\{2;4;5;1;6;0;9;-3\right\}\)
Với các giá trị nguyên của \(x\ne-1\), để A nguyên thì \(\left(x^5+1\right)⋮\left(x^3+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^5+x^2-\left(x^2-1\right)\right)⋮\left(x^3+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2\left(x^3+1\right)-\left(x^2-1\right)\right)⋮\left(x^3+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)⋮\left(x^3+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)⋮\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)⋮\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+1-1\right)⋮\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow1⋮\left(x^2-x+1\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x+1=1\\x^2-x+1=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\left(x-1\right)=0\\\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)