Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Thay $a+b=-c$ ta có:
\(a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)-a^2b^2(a+b)-b^2c^2(b+c)-c^2a^2(c+a)\)
\(=(a^2+b^2+c^2)[(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3]+a^2b^2c+b^2c^2a+c^2a^2b\)
\(=(a^2+b^2+c^2)(-c^3+3abc+c^3]+abc(ab+bc+ac)\)
\(=abc(3a^2+3b^2+3c^2+ab+bc+ac)\)
\(=abc.\left(\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{2}\right)\)
\(=abc[\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{(a+b+c)^2}{2}]=\frac{5abc(a^2+b^2+c^2)}{2}\) (đpcm)
b) Áp dụng kết quả $a^3+b^3+c^3=3abc$ đã làm ở phần a và điều kiện đề bài $a+b+c=0$ ta có:
\(a^7+b^7+c^7=(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)-a^3b^3(a+b)-b^3c^3(b+c)-c^3a^3(c+a)\)
\(=3abc(a^4+b^4+c^4)+a^3b^3c+b^3c^3a+c^3a^3b\)
\(=abc(3a^4+3b^4+3c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(1)\)
Mà:
\(a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8abc(a+b+c)\)
\(=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4+c^4}{2}=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a^7+b^7+c^7=abc(3a^4+3b^4+3c^4+\frac{a^4+b^4+c^4}{2})=\frac{7abc(a^4+b^4+c^4)}{2}$ (đpcm)
a) ta có (a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+2.6=a2+b2+12(1)
mà a+b=5 nên (a+b)2=25
từ(1) suy ra a2+b2=25-12=13
b) ta có (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)
suy ra x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=125-90=35
Lời giải:
Ta có:
$(a^3+b^3)(a^2-b^2)-(a+b)=a^5+a^3b^2+a^2b^3+b^5-(a+b)$
$=(a^5+b^5)+(a^3b^2+a^2b^3)-(a+b)$
$=(a^5+b^5)+a^2b^2(a+b)-(a+b)=a^5+b^5+(a+b)-(a+b)=a^5+b^5$
(đpcm)
Chứng minh đẳng thức:
1) xét vế trái (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2 =a2-b2=vế phải
2) xét vt (a+b)(a2-ab+b2) =a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3 =a3+b3=vp
3) (a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3 =a3- b3 =vp
4) (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2=vp
5) (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2=vp
6) (a+b)3 =(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3= a3+3a2b+3ab2+b3=vp
7)(a-b)3=(a-b)(a-b)(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b) = a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=vp
1)
\(\left(a+b\right)^5-a^5-b^5\)
\(=\left(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\right)-a^5-b^5\)
\(=5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4\)
\(=5ab\left(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3\right)\)
\(=5ab.\left[\left(a^3+a^2b+ab^2\right)+\left(b^3+a^2b+ab^2\right)\right]\)
\(=5ab.\left[a.\left(a^2+ab+b^2\right)+b.\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\)
\(=5ab.\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
2)
\(\left(a+b\right)^7-a^7-b^7\)
\(=\left(a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7\right)-a^7-b^7\)
\(=7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6\)
\(=7ab.\left(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\right)\)
\(\ne7ab\left(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3\right)\)
\(=7ab.\left[\left(a^3+a^2b+ab^2\right)+\left(b^3+a^2b+ab^2\right)\right]\)
\(=7ab.\left[a.\left(a^2+ab+b^2\right)+b.\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\)
\(=7ab.\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)