Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
+) Ta có
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
+ ) Theo phần trên
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
2,
Ta có: \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)+5\left(y+z\right)^2=28yz\le7\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)-2\left(y+z\right)^2\le0\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}-2\le0\)\(\Leftrightarrow\left(5.\frac{x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(5.\frac{x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\))
\(\Rightarrow E=\frac{2x-y-z}{y+z}=2.\frac{x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{4}\)
\(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}.\frac{x+z}{4}}=\frac{x^2}{y}\)
ttu ta sẽ có vt \(\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
\(P=\frac{3\left(x^3+y^3+z^3\right)}{4\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{4\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{x+y+z}{4}+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Đặt \(x+y+z=a\) thì cần chứng minh
\(\frac{a}{4}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)(đúng)
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
a) Biến đổi tương đương, nếu ko quen với phân số thì nhân2 cho dễ nhìn
b) Tương tự câu a
làm giúp đi ạ