Question

[Le Hong Phuc]

CMR: \(a^p\equiv a\)(mod p) với p là số nguyên tố, a là số nguyên (Định lý nhỏ Fermat)

Answer 1

[thuan doan]

ap−1≡1(modp)<=>ap−1−1⋮p<=>ap−a⋮pap−1≡1(modp)<=>ap−1−1⋮p<=>ap−a⋮p  (1)

*Nếu a là số nguyên dương Ta giả sử  (1) đúng với a=n. Ta có np−n⋮pnp−n⋮p

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với a=n+1. Thật vậy:

(n+1)p−(n+1)=np+np−1+n(n−1)2!np−2+...+n(n−1)2!n2+n+1(n+1)p−(n+1)=np+np−1+n(n−1)2!np−2+...+n(n−1)2!n2+n+1

Đặt Ckp=p(p−1)...(p−k+1)k!Ckp=p(p−1)...(p−k+1)k!

vì p là số nguyên tố nên (p−1)...(p−k+1)k!(p−1)...(p−k+1)k!  là số nguyên và np−knp−k cũng là số nguyên nên:

p(np−1+p−12!.np−2+...+n)p(np−1+p−12!.np−2+...+n) là số nguyên chia hết cho p.

Vậy ta có(n+1)p−n−1=np+pm+1−n−1(n+1)p−n−1=np+pm+1−n−1(với m thuộc Z nào đó)

=np−n+pm=np−n+pm (dễ dàng thấy nó chia hết cho p)

*Nếu a là số nguyên âm.

+ p=2 => đúng

+p lẻ thì đặt ap−a=−bp+b=−(bp−b)⋮pap−a=−bp+b=−(bp−b)⋮p (với b là số nguyên dương, a=−ba=−b)

Vậy ap−a⋮pap−a⋮p với mọi a∈Za∈Z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 08-07-2014 - 08:48