Question

[tủn]

CMR \(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+........+3^{x+100}\)chia hết cho 120 (với x\(\in\)N)

Answer 1

[Nguyễn Vũ Minh Hiếu]

Đặt A = 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + ... + 3^{x + 100}

=> A = ( 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + 3^{x + 4} ) + ( 3^{x + 5} + 3^{x + 6} + 3^{x + 7} + 3^{x + 8} ) + ... + ( 3^{x + 97} + 3^{x + 98} + 3^{x + 99} + 3¹⁰⁰ )

=> A = 3^x . ( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ ) + 3^{x + 5} . ( 3 + 3² + 3² + 3⁴ ) + ... + 3^{x + 97} . ( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ )

=> A = 3^x . 120 + 3^{x + 5} . 120 + ... + 3^{x + 97} . 120

=> A = ( 3^x + 3^{x + 5} + ... + 3^{x + 97} ) . 120

Vì \(120⋮120\)nên \(\left(3^x+3^{x+5}+...+3^{x+97}\right).120⋮120\)hay \(A⋮120\)

~ Hok tốt ~

Answer 2

[TRẦN ĐỨC VINH]

\(S=3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}=3^x\left(3+3^2+3^3+..3^{100}\right).Do..đó.\) 

Ta chứng minh A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ..... + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰  chia hết cho 120 . Tổng A có 100 số hạng.

- Chia tổng A thành 25 nhóm , mooic nhóm gồm 4 số hạng liên tiếp, kể từ số hạng đầu, mỗi nhóm như vậy có tổng chia hết cho 120 :

A = (3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (x⁵ + x⁶ +  x⁷ +  x⁸ ) + ... + (x⁹⁷ + x⁹⁸ + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ ) = x ( 1 + x + x² + x³ ) + x² ( 1 + x + x² + x³ ) + ..... + x⁹⁷ ( 1 + x + x² + x³ ) = 40.(x + x² + x³ + ... + x⁹⁷ )  Chia hết cho 40 . Dễ thấy A chia hết cho 3, Mà 3 và 40 nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho  3x40 = 120

Do đó S = 3^x.A chia hết cho 120 với mọi giá trị x là số tự nhiên.