Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Trần Hà My - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link này nhé!
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử PT đã cho không có nghiệm nào với mọi số thực $a,b,c$.
Điều này tương đương với các PT con
\((1):ax^2+2bx+c=0; (2):bx^2+2cx+a=0;(3): cx^2+2ax+b=0\)không có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\Delta'_1=b^2-ac< 0\\
\Delta'_2=c^2-ab< 0\\
\Delta'_3=a^2-bc< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b^2-ac+c^2-ab+a^2-bc< 0\)
\(\Leftrightarrow 2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc< 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2< 0\) (vô lý với mọi $a,b,c$ thực)
Vậy điều giả sử là sai. Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
Xét pt (1) có \(\Delta'_1=a^2-bc\)
Xét pt (2) có \(\Delta'_2=b^2-ac\)
Xét pt (3) có \(\Delta'_3=c^2-ab\)
Có \(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(\Rightarrow2\left(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3\right)=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'\ge0\)
Nên tồn tại ít nhất một trong 3 delta phải lớn hơn hoặc bằng 0
=> Tồn tại ít nhất một trong 3 pt đã cho có nghiệm
Vậy ...........
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
Bài 1:
\(\frac{(x+1)^4}{(x^2+1)^2}+\frac{4x}{x^2+1}=6\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x+1)^4+4x(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=6\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^4+8x^3+6x^2+8x+1}{(x^2+1)^2}=6\Rightarrow x^4+8x^3+6x^2+8x+1=6(x^2+1)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+8x^3+6x^2+8x+1=6(x^4+2x^2+1)\)
\(\Leftrightarrow 5x^4-8x^3+6x^2-8x+5=0\)
\(\Leftrightarrow 5x^3(x-1)-3x^2(x-1)+3x(x-1)-5(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(5x^3-3x^2+3x-5)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)[5(x-1)(x^2+x+1)-3x(x-1)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2(5x^2+2x+5)=0\)
Dễ thấy \(5x^2+2x+5>0\), do đó \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)
Bài 2: ĐK: \(x\geq 0\)
\(A=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}-1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}+1)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
\(A=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+x+1\)
\(A=x-2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1)^2\)
\(\Delta'_1=b^2-ac\) ; \(\Delta'_2=c^2-ab\); \(\Delta'_3=a^2-bc\)
\(T=\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
\(T=\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(T=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Luôn phải có ít nhất một trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm hay ít nhất một trong 3 pt có nghiệm