Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có : \(|x+y|\le|x|+|y|\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le\left(|x|+|y|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2.x.y+y^2\le x^2+2.|x|.|y|+y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\le|x||y|\)
Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=|x||y|\Rightarrow xy\ge0\)
b) Từ câu (a) ta có: \(|x-y|+|y|\ge|x-y+y|=|x|\)
\(\Rightarrow|x-y|\ge|x|-|y|\)
Dấu bằng xảy ra khi A-B và B cùng dấu.
a) Vì 2 vế ko âm nên bình phương cả 2 vế ta dc :
\(\left|x+y\right|^2\le\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right).\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)
\(\Rightarrow xy\le\left|xy\right|\) (Luôn đúng với mọi \(x,y\))
Vậy bất đẳng thức trên đúng. Dấu "=" xảy ra khi \(\left|xy\right|=xy\) \(\Leftrightarrow x,y\) cùng dấu
Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\rightarrowđpcm\)
b) Áp dụng câu a ta có :
\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\Rightarrow\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)
Vậy \(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\rightarrowđpcm\)
e viết sai dấu BĐT rồi nhá
phải là \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\Leftrightarrow x^2+y^2+2\left|xy\right|\ge x^2+y^2+2xy\Leftrightarrow\left|xy\right|\ge xy\)(luôn đúng theo BĐT về trị tuyệt đối
^_^
|x + y| ≤ |x| + |y|
Với mọi x, y ∈ Q ta luôn có: x ≤ |x| và -x ≤ |x|
y ≤ |y| và -y ≤ |y|
=> x + y ≤ |x| + |y| và -x-y ≤ |x| + |y| hay x + y ≥ - (|x| + |y|)
Do đó - (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
Vậy |x + y| ≤ |x| + |y|
Chúc bạn học tốt!!!
Bài 2 :
Ta có : x - y = xy => x = xy + y = y ( x + 1 )
=> x : y = x + 1 ( vì y khác 0 )
Ta có : x : y = x - y => x + 1 = x - y => y = -1
Thay y = -1 vào x - y = xy , ta được x - (-1) = x (-1) => 2x = -1 => x = -1/2
Vậy x = -1/2 ; y = -1
Lấy z là trung bình cộng của x và y:
z = (x + y)/2
z là số hữu tỉ vì nó có thể biểu diễn được thành phân số có tử số và mẫu số là số nguyên. Dễ dạng chứng minh được:
x < (x + y)/2 < y