Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1\)
\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT cô-si cho hai số không âm ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2\sqrt{1}=2\)
Suy ra: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3+2+2+2=9\)
=>Điều phải chứng minh
đặt A= vế trái
nhân phá ngoặc A ta đc:
A=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1
=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)
áp dụng BĐT:a/b+b/a>=2
=>A>=3+2+2+2=9
vậy...
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức côsi lần lượt ta có :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)
Nhân vế theo vế ta được : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=9\)(đpcm)
Áp dụng bđt cosi ta có :
(x+y+z).(1/x+1/y+1/z)
>= \(3\sqrt[3]{xyz}\). \(3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)= \(9\sqrt[3]{\frac{xyz.1}{xyz}}\) = 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Tk mk nha