Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện là các số đôi một khác nhau:
Đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)=\left(x;y;z\right)\) BĐT trở thành:
\(\frac{x^2}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y^2}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z^2}{\left(x-y\right)^2}\ge2\)
Bạn tham khảo ở đây:
Câu hỏi của tư mã chiêu - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
a)Quy đồng hết lên:v
\(=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{ab\left(a-b\right)-bc\left(a-b+c-a\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(ab-bc\right)+\left(c-a\right)\left(ca-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{b\left(a-b\right)\left(a-c\right)-c\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) (tắt xíu, ráng hiểu:v)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\) (đpcm)
b)(sai thì thôi, cái chỗ đẳng thức xảy ra ý) Đặt \(\frac{a}{b-c}=x;\frac{b}{c-a}=y;\frac{c}{a-b}=z\) (cho nó gọn, viết cho nó lẹ:v) theo câu a) suy ra \(xy+yz+zx=-1\) => \(2xy+2yz+2zx=-2\)
Ta cần chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge2\). Thêm 2xy + 2yz +2zx vào hai vế ta cần chứng minh:
\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge2-2=0\) (luôn đúng)
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(x+y+z=0\)
3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v
Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities
Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.
Bài 3: Tí check đề cái đã.
Ta có : \(\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+\left(b-c\right)}{b-c}-1+\frac{b+\left(c-a\right)}{c-a}-1+\frac{c+\left(a-b\right)}{a-b}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{a+c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{b+c}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Từ gt ta có : \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Với điều kiện như đề bài
Ta có: \(\frac{b^2-c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{b^2-a^2+a^2-c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)+\left(a-c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{b-a}{a+c}+\frac{a-c}{a+b}\)
Tướng tự:
\(\frac{c^2-a^2}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}=\frac{c-b}{b+a}+\frac{b-a}{b+c}\)
\(\frac{a^2-b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}=\frac{a-c}{c+b}+\frac{c-b}{c+a}\)
Em nhớ làm tiếp nhé!
\(VT=\frac{c-b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{b-a}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2-\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2ac+2bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{2ab-2ac+2bc-2b^2+2ab+2ac-2bc-2a^2-2ab+2ac+2bc-2c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{2\left(a-b\right)\left(b-c\right)+2\left(a-b\right)\left(c-a\right)+2\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{2}{c-a}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-b}\)
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)