Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
Bạn ơi , bao giờ giáo viên của bạn chữa cho bạn bài này thì cho mình xin lời giải nhé , mình cám ơn ạ !
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}\)
\(\frac{b^2}{a^2+c^2}-\frac{b}{a+c}=\frac{ab\left(b-a\right)+bc\left(b-c\right)}{\left(a^2+c^2\right)\left(a+c\right)}\)
\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-b\right)}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\)
Cộng các vế ta có:
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{\left(a^2+c^2\right)\left(a+c\right)}\right]\)\(+ac\left(a-c\right)\left[\frac{1}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\right]\)
\(+bc\left(b-c\right)\left[\frac{1}{\left(a^2+c^2\right)\left(a+c\right)+}-\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\right]\)
Giả sử \(a\ge b\ge c>0\)thì
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)>0\)
=> \(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
A = \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
= \(a.\frac{a}{b+c}+b.\frac{b}{a+c}+c.\frac{c}{a+b}\)
=\(a.\frac{a}{b+c}+1-1+b.\frac{b}{a+c}+1-1+c.\frac{c}{a+b}+1-1\)
= \(\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}-a+\frac{b\left(a+b+c\right)}{a+b}-b+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}-c\)
= \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\left(a+b+c\right)\)
= (a+b+c) - (a+b+c) = 0
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}=2\left|\frac{a}{c}\right|\ge\frac{2a}{c}\)
Tương tự: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
tau lam theo cach nay hoi dai nhung van dung
xet:a2/b2+c2-a/b+c=ab(a-b)+ac(a-c)/(b2+c2)(b+c)(1)
tg tu:b2/c2+a2-b/c+a=bc(b-c)+ab(b-a)/(a2+c2)(c+a)(2)
c2/a2+b2-c/a+b=ac(c-a)+cb(c-b)(3)
lay(1)+(2)+(3) roi dat thua so chung ab(a-b);ac(c-a);bc(b-c) ra roi gia su a=>b=>c>0 suy ra bieu thuc trong ngoac ko am =>dpcm
Có :a^2/b+c + b^2/c+a + c^2/a+b
= a.(a/b+c) + b.(b/c+a) + c.(c/a+b)
= a.(a/b+c + 1 - 1) + b.(b/c+a + 1 - 1) + c.(c/a+b + 1 - 1)
= a. a+b+c/b+c + b. a+b+c/c+a + c. a+b+c/a+b - (a+b+c)
= (a+b+c).(a/b+c + b/c+a + c/a+b) - (a+b+c)
= (a+b+c)-(a+b+c)
= 0
=> ĐPCM
Tk mk nha
Ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+1\ge2.\frac{a}{b}\)
\(\frac{b^2}{c^2}+1\ge2.\frac{b}{c}\)
\(\frac{c^2}{a^2}+1\ge2.\frac{c}{a}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+3\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-3\)
\(\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-3=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c
Ta co: \(\frac{a^2}{b^2}\ge\frac{a}{b}\); \(\frac{b^2}{c^2}\ge\frac{b}{c}\);\(\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{a}\)\(\Rightarrow dpcm\)
bài này chắc có câu a đúng ko
ta có \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=\frac{b}{a}\)
\(\Leftrightarrow a^4c^2+b^4a^2+c^4b^2=abc\left(a^2c+c^2a+b^2c\right)\)
đặt \(x=a^2c;y=b^2a;z=c^2b\)ta được
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
áp dụng kết quả của câu a ta đc
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-x\right)^2=0=>x=y=z\)
\(=>a^2c=b^2a=c^2b=>ac=b^2;bc=a^2;ab=c^2\)
=>a=b=c(dpcm)
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\)
Khi đó:\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y-z\right)^2\ge0;\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z hay a=b=c
Suy ra điều fải chứng minh
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2.\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2.\left(a+b+c\right)}\)
=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\left(=\frac{a^2+b^2+c^2}{2.\left(a+b+c\right)}\right)\)