Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(S=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{199\cdot200}\)
\(S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{199}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(S=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(S=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\)
\(S=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\)
Ta có đpcm
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{199\cdot200}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(=1-\frac{1}{200}\)
\(=\frac{199}{200}\)
vậy \(\frac{99}{200}< \frac{199}{200}< 1\left(đpcm\right)\)
Trên máy mk hiển thị , câu hỏi này 4 phút nữa mới chính thức xuất hiện ,,, máy bị j hay do câu hỏi ak ??
Ta có:\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3};..............;\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)
=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+............+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.........+\frac{1}{99.100}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+.............+\frac{1}{99.100}\)
=\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+............+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
=\(1-\frac{1}{100}\)
=\(\frac{99}{100}<1\)
Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.......+\frac{1}{100^2}<1\)
Gọi tổng trên là A
=>A>\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{100.101}\) =\(\frac{1}{2}-\frac{1}{101}=\frac{99}{202}>\frac{99}{200}\)(đpcm)
chứng minh rằng : \(\frac{1}{3^2}\) +\(\frac{1}{4^2}\) + .....+\(\frac{1}{200^2}\) < \(\frac{4}{9}\)
Đặt A=1/3^2+1/4^2+1/5^2+...+1/200^2
A<1/3^2+1/3*4+1/4*5+...+1/199*200
A<1/9+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/199-1/200
A<1/9+1/3-1/200
A<4/9-1/200<4/9
=> A<4/9
=>1/3^2+1/4^2+...+1/200^2<4/9
\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{200.201}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{200}-\frac{1}{201}\)
=\(\frac{1}{3}-\frac{1}{201}=\frac{22}{67}< \frac{4}{9}\)
Vậy: \(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}< \frac{4}{9}\)