PT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
7 tháng 6 2020
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
6 tháng 6 2019
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
DD
1
16 tháng 12 2019
...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
NA
3
ML
9 tháng 8 2015
Ta có:(x-y)2>0
=>x2-2xy+y2>0
=>x2+y2>2xy
=>x2+y2/2>xy
Dấu = xảy ra <=>x=y
MT
9 tháng 8 2015
\(\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{2xy}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(\text{Luôn đúng với mọi x;y}\right)\)
\(\text{Vậy }\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi }x=y\)
TN
0
LM
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(x^2+y^2-xy=1\).. Chứng minh rằng:
\(x^4+y^4-x^2y^2\ge\frac{1}{9}\)
1
VT
30 tháng 5 2017
đặt x2 + y2 = a; xy = b. khi đó a - b = 1 hay a = b + 1.
ta phải chứng minh x4 + y4 - x2y2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\)hay a2 - 3b2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\) (1)
thế a = b + 1 vào (1) ta được 9b2 - 9b - 4 \(\le\)0 hay (3b + 1)(3b - 4) \(\le\)0 hay \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\)
ta sẽ chứng minh \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\).
thật vậy
ta có x2 + y2\(\ge\)2xy nên từ giả thiết suy ra xy \(\le\) 1 hay b \(\le\)1 nên b \(\le\)\(\frac{4}{3}\)
mặt khác từ giả thiết ta có (x + y)2 - 3xy = 1 nên 3xy + 1 = (x + y)2\(\ge\)0 hay xy \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)hay b \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)
từ đó suy ra đpcm.
Ap dung bdt Cosi cho 2 so ko am la x2 va y2/4 ta duoc
\(x^2+\frac{y^2}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2.y^2}{4}}=2.\frac{xy}{x}=xy\)
Dau = xay ra <=> x=1/2y
Chuc ban hoc tot
cai duoi mau la 2 nha chu ko phai la x dau , mik danh nhanh nen viet nham ban thong cam