Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
chứng minh bài toán theo cách quy nạp toán học.
Với n=2 suy ra:\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{13}{14}\left(TM\right)\)
Giả sử bài toán trên đúng với mọi n=k,ta cần chứng minh nó đúng với n=k+1,tức là:
\(S_k=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+....+\frac{1}{2\left(k+1\right)}>\frac{13}{14}\)
Thật vậy:
\(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+....+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}\)
\(=S_k+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k+1}\)
\(>\frac{13}{14}+\frac{2k+2}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}+\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}-\frac{2\left(2k+1\right)}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}\)
\(=\frac{13}{14}+\frac{2\left(k+1\right)+2k+1-2\left(2k+1\right)}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}\)
để dễ hiểu,,mik xin viết thêm nha(không phải để kiếm điểm,có người nhờ nên mới thế này:))
\(\frac{13}{14}+\frac{2\left(k+1\right)+2k+1-2\left(2k+1\right)}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}\)
\(=\frac{13}{14}+\frac{1}{2\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}>\frac{13}{14}\left(k>1\right)\)
\(\Rightarrow S_{k+1}>\frac{13}{14}\)
\(\Rightarrow S_k>\frac{13}{14}\)
Phép chứng minh hoàn tất_._
mình không biết nhưng chi mình hỏi 1 câu này :
BẠN CHƠI ROBLOX À ???
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
Ta có đpcm.
\(a_1=1,a_2=1+\frac{1}{2},a_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},...,a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow a_1< a_2< ...< a_n\left(\text{vì }n\inℕ,n>1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a_1\right)^2}+\frac{1}{\left(2.a_2\right)^2}+....+\frac{1}{\left(n.a_n\right)^2}< \frac{1}{\left(a_1\right)^2}+\frac{1}{\left(2.a_1\right)^2}+....+\frac{1}{\left(n.a_1\right)^2}\)
\(=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1+\frac{1}{1.2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=2-\frac{1}{n}< 2\left(\text{vì }n\inℕ,n>1\right)\)
Vậy...
p/s: lần sau bạn viết đề rõ ra :((
\(A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=1-\frac{1}{n}<1\)