Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A = (n+1)4+n4+1=(n2+2n+1)2-n2+(n4+n2+1)
=(n2+3n+1)(n2+n+1)+(n2+n+1)(n2-n+1)
=(n2+n+1)(2n2+2n+2)=2.(n2+n+1)2
=> đpcm
\(A=\left(n+1\right)^4+n^4+1=\left[\left(n^2+2n+1\right)^2-n^2\right]+\left[\left(n^4+2n^2+1\right)-n^2\right]\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left[\left(n^2+1\right)^2-n^2\right]\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+1+n^2-n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)\left(2n^2+2n+1\right)=2.\left(n^2+n+1\right)^2⋮\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow A⋮\left(n^2+n+1\right)^2\) => đpcm
- Với n = 1, ta có: 14 - 12 = 0 chia hết cho 12
Vậy đẳng thức đúng với n = 1.
- Giả sử với n = k \(\left(k\ge1\right)\), khi đó ta có:
\(k^4-k^2\) chia hết cho 12
- Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Ta có:
(k + 1)4 - (k + 1)2
\(=\left(k+1\right)^2\left[\left(k+1\right)^2-1\right]\)
\(=\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)k\) chia hết cho 12
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.
Kết luận: Vậy n4 - n2 chia hết cho 12 với mọi số nguyên dương N.
P/s: e chưa đc học phương pháp quy nạp nên chỉ có thể nhìn theo bài mẫu rồi trình bày tương tự thoy, nên có j sai, mong a bỏ qua cho a~ ^^
Đề phải cho n thuộc N sao nha bạn
Có :
A = n^4+4n^3+6n^2+4n+1+n^4+1
= 2n^4+4n^3+6n^2+4n+2
=> A/2 = n^4+2n^3+3n^2+2n+1
= (n^4+2n^3+n^2)+(2n^2+2n)+1
= (n^2+n)^2+2.(n^2+n).1+1 = (n^2+n+1)^2
=> A chia hết cho (n^2+n+1)^2
Mà n thuộc N sao nên n^2+n+1 > 1
=> ĐPCM
Tk mk nha
\(A=n^4+4n^3+6n^2+4n+1+n^4+1\)
\(A=2n^4+4n^3+6n^2+4n+2\)
\(A=2\left(n^4+2n^3+3n^2+2n+1\right)\)
\(A=2\left(n^2+n+1\right)^2⋮\left(n^2+n+1\right)^2\)(là số chính phương) (đpcm)
(Áp dụng đẳng thức \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\))
Hình như là đề bài thiếu rồi ạ. Nếu chỉ cho đk như vậy thì sao tìm đc n ạ???
A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4
A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4
A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4
A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4
A=(x2+5xy+5y2)2
Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z
A là số chính phương
a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y2
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = h ( h thuộc Z):
A = ( h - y2)( h + y2) + y2 = h2 – y2 + y2 = h2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z thuộc Z nên x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2 thuộc Z . Suy ra x2 + 5xy + 5y2 thuộc Z
Vậy A là số chính phương.
a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014
=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
<=> a3 + b3 ≤ a + b
<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
Câu hỏi của Nghĩa Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(A=\left(n+1\right)^4+n^4+n^1=\left(n^2+2n+1\right)^2-n^2+\left(n^4+n^2+\right)1\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)\left(2n^2+2n+2\right)=2\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
P/s: mình không chắc...